Page 92 - MATINF Nr. 6

˘
92 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

Clasa a X-a

M 150. Fie a, b, c > 0 astfel ˆıncˆat a + b + c + 2 = abc. Demonstrat , i c˘a

3
(n + ab)(n + bc)(n + ca) ≥ (n + 4) ,
pentru orice n > 0.

Marin Chirciu, Pites , ti

M 151. Ar˘atat , i c˘a pentru orice a, b, c, d > 0 avem:

a b c
a) p + p + p
3 (a + 3b)(a + 3c)(a + 3d) 3 (b + 3c)(b + 3d)(b + 3a) 3 (c + 3d)(c + 3a)(c + 3b)
d
≥ 1;
+p
(d + 3a)(d + 3b)(d + 3c)
3
a(a + 2b + c) b(b + 2c + d) c(c + 2d + a)
b) p + p + p
3 3 3
(a + 3b)(a + 3c)(a + 3d) (b + 3c)(b + 3d)(b + 3a) (c + 3d)(c + 3a)(c + 3b)
d(d + 2a + b)
≥ a + b + c + d.
+p
3
(d + 3a)(d + 3b)(d + 3c)
Mih´aly Bencze, Bras , ov

M 152. Fie a, b > 0 cu a > b + 1. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia

9
3
x
(a + b) + (a − b) x = 2 a + 3ab 2 .
Sorin Ulmeanu, Pites , ti
2π 2π
M 153. Fie ε = cos + i sin , unde n ∈ N, n ≥ 2. Ar˘atat , i c˘a produsul
n n

√ √ 2 √ n−1 √
P = n + n n n + ε · n n n + ε · n n · . . . · n + ε · n n
este un num˘ar natural par.

Ionel Tudor, C˘alug˘areni

M 154. Fie ABC un triunghi, ψ cercul ˆınscris ˆın triunghiul ABC, de centru I, iar ω cercul
tangent interior cercului circumscris triunghiul ABC ˆın punctul T s , i tangent la laturile AB s , i
BC ˆın punctele K, respectiv L (cercul ω se numes , te B-semiˆınscris sau B-mixtliniar ˆınscris
triunghiului ABC). Fie D punctul de tangent , ˘a al cercului ψ cu latura AC, E al doilea punct de
intersect , ie dintre cercul ψ s , i BT, ˆın ordinea de la B spre T, iar F al doilea punct de intersect , ie,
ˆın afar˘a de E, dintre cercul circumscris triunghiului EDI s , i BT.

Demonstrat , i c˘a punctele K, F s , i I sunt coliniare.

Emmanuel Antonio Jos´e Garc´ıa, Republica Dominican˘a