Page 93 - MATINF Nr. 6

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 93

Clasa a XI-a

§ 3 10 12
x y x = e
M 155. a) Cˆate solut , ii are sistemul de ecuat , ii 4 10 11 , x, y ∈ S 4 ?
y x y = e
b) Aceeas , i cerint , ˘a pentru x, y ∈ S 4 .

Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

∗
M 156. Fie m, n, p, q, r, s ∈ N \ {1} s , i A ∈ M m,n (C), B ∈ M n,p (C), C ∈ M p,m (C) astfel ˆıncˆat
s
r
q
(ABC) = ABC, (BCA) = BCA s , i (CAB) = CAB.
a) Demonstrat , i c˘a rang (ABC) = rang (BCA) = rang (CAB).
b) R˘amˆane concluzia adev˘arat˘a dac˘a se renunt , ˘a la una dintre egalit˘at , ile din ipotez˘a?

* * *

M 157. Fie triunghiul ABC s , i M un punct interior acestuia. Not˘am cu x, y s , i z ariile
triunghiurilor MBC, MCA, respectiv MAB.
a) Ar˘atat , i c˘a exist˘a cel mult un triunghi XY Z astfel ˆıncˆat A ∈ Y Z, B ∈ ZX, C ∈ XY s , i
dreptele XA, Y B s , i ZC sunt concurente ˆın M.

b) Determinat , i cazurile ˆın care nu exist˘a triunghiul XY Z cu propriet˘at , ile ment , ionate.

c) Determinat , i cazurile ˆın care triunghiul XY Z exist˘a, iar punctele A, B s , i C apart , in chiar
segmentelor (Y Z), (ZX), respectiv (XY ).
ˆ
d) In cazul ˆın care triunghiul XY Z exist˘a, exprimat , i aria lui ˆın funct , ie de x, y s , i z.

Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin

M 158. Fie (x n ) un s , ir de numere reale pozitive astfel ˆıncˆat
n≥1
1
∗
x n+2 ≤ x n + , ∀ n ∈ N .
n 2
√
Demonstrat , i c˘a s , irul (a n ) definit prin a n = n x 1 x 2 . . . x n este convergent.
n≥2

Cristinel Mortici, Viforˆata

M 159. Fie a > 1 un num˘ar real fixat. Rezolvat , i ecuat , ia

3
5
2
x + a 6 log a + x · a 6 log a = a + a + a .
x
x
Marin Chirciu, Pites , ti