Page 90 - MATINF Nr. 6

˘
90 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

1
Z
n | sin a| | cos a|
Prin urmare sin(a + x ) dx − sin a ≤ + . Luˆand n → ∞, rezult˘a c˘a

2(2n + 1) n + 1
0
Z 1 Z 1

n
n
lim sin(a + x ) dx − sin a = 0, deci lim sin(a + x ) dx = sin a.

n→∞ n→∞
0 0
Solut ,ia 2 (a autorilor). Pentru n ∈ N arbitrar avem
1 1 1 n n
Z Z Z  ‹
n n x x
sin(a + x )dx − sin a = (sin(a + x ) − sin a) dx = 2 sin cos a + dx

2 2
0 0 0
Z 1 n  n ‹ Z 1 n Z 1 n Z 1
x x x x 1
n
≤ 2 sin cos a + dx ≤ 2 sin dx = 2 sin dx ≤ x dx = ,
2 2 2 2 n + 1
0 0 0 0
1
unde am folosit inegalitatea clasic˘a sin t ≤ t, pentru orice t ≥ 0. Cum lim = 0, obt , inem
n→∞ n + 1
Z 1
n
c˘a lim sin(a + x )dx = sin a.
n→∞
0
Remarc˘am c˘a limita propus˘a poate fi calculat˘a s , i folosind Teorema convergent ,ei dominate,
dar acest rezultat nu este accesibil majorit˘at , ii elevilor de liceu.