Page 85 - MATINF Nr. 6

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 85

3
3
3
3
3
(x 1 x 2 x 3 ) B = A + B . Astfel det (A + B ) = det (A + x 1 B) det (A + x 2 B) det (A + x 3 B) =
3
3
3
3
P(x 1 )P(x 2 )P(x 3 ) = (det A + x det B) (det A + x det B) (det A + x det B) = (det A + det B) .
1 2 3
3
Egalitatea de la punctul b) se obt , ine analog, considerˆand acum ecuat , ia x + 1 = 0.
a + b 2a + b na + b
 ‹  ‹  ‹
M 113. Fie a, b ∈ (0, ∞), Calculat ,i lim 1 + · 1 + · . . . · 1 + .
n→∞ n 2 n 2 n 2
Marin Chirciu, Pites , ti
Solut ,ie. Not˘am cu x n s , irul din enunt , . Folosind Inegalitatea mediilor obt , inem
 n
n(n + 1)
 
 
• ˜ n
 · a + nb  (n + 1)a + 2b
x n ≤ 1  2  = 1 + , (1).
n +
n n 2   2n 2
 
n • ka + b ‹  (n − k + 1)a + b ‹˜
2
Pe de alt˘a parte, scriind x = Q 1 + 1 + , obt , inem
n
k=1 n 2 n 2
n • ˜ • ˜ n
Y ka + b (n − k + 1)a + b (n + 1)a + 2b
2
x > 1 + 2 + 2 = 1 + 2 , (2).
n
k=1 n n n
˜ n
• • ˜ n
(n + 1)a + 2b 2 (n + 1)a + 2b
Din (1) s , i (2) rezult˘a c˘a 1 + < x n ≤ 1 + , de unde, aplicˆand
n 2 √ 2n 2
a
Criteriul cles , telui, se obt , ine us , or c˘a lim x n = e .
n→∞
M 114. a) Aflat ,i a, b ∈ R pentru care exist˘a limita de funct ,ie lim sin(ax + b).
x→∞
b) Aflat ,i a, b ∈ R pentru care exist˘a limita de s , ir lim sin(an + b).
n→∞
* * *

Solut ,ie. a) Pentru a = 0 avem sin(ax + b) = sin b → sin b. Pentru a 6= 0, luˆand s , irurile
sgn(a) · nπ − b π + 2sgn(a) · nπ − b
x n = s , i y n = 2 avem x n , y n → ∞, sin(ax n + b) = 0 → 0 s , i
a a
sin(ay n + b) = 1 → 1, deci nu exist˘a lim sin(ax + b). Astfel limita lim sin(ax + b) exist˘a dac˘a
x→∞ x→∞
s , i numai dac˘a a = 0.

b) Fie a = a 0 + 2kπ, cu a 0 ∈ [0, 2π) s , i k ∈ Z. Avem sin(an + b) = sin(an 0 + b), ∀ n ∈ N.

Cazul 1. a 0 = 0. Evident, sin(a 0 n + b) = sin b → sin b.

π − a 0 π b
Cazul 2. a 0 ∈ (0, π). Fie ε = ∈ 0, . Pentru orice m ∈ N, m ≥ , intervalul
2 2 2π
• ˜
2mπ + ε − b 2mπ + π − ε − b π − 2ε
I m = , are lungimea = 1, deci exist˘a n m ∈ I m ∩ N.
a 0 a 0 a 0
Avem a 0 n m +b ∈ [2mπ +ε, 2mπ +π −ε], deci sin(a 0 n m +b) ∈ [sin ε, 1], (1). Analog, intervalul
• ˜
2mπ + π + ε − b 2mπ + 2π − ε − b
0
J m = , are lungimea 1, deci exist˘a n ∈ J m ∩ N s , i avem
m
a 0 a 0
0
0
a 0 n + b ∈ [2mπ + π + ε, 2mπ + 2π − ε], deci sin(a 0 n + b) ∈ [−1, − sin ε], (2). Cum
m m
− sin ε < sin ε, din (1) s , i (2) rezult˘a c˘a lim sin(a 0 n + b) nu exist˘a.
n→∞