Page 7 - REVISTA MATINF Nr. 5
P. 7

O inegalitate pentru funct¸ii convexe/concave



            Dorin M˘arghidanu       1



                Pornind de la inegalitatea ponderat˘a a lui Jensen se obt , ine o inegalitate foarte interesant˘a.
            Prin particularizarea acestei inegalit˘at , i la diferite funct , ii convexe, se obt , in numeroase aplicat , ii.
                                                                         ˆ
                Inegalitatea lui Jensen este foarte cunoscut˘a s , i utilizat˘a. In lumea inegalit˘at , ilor ea este chiar
            considerat˘a drept ,,regina inegalit˘at , ilor”, deoarece este o inegalitate foarte puternic˘a. Multe din
            inegalit˘at , ile celebre – de exemplu: inegalitatea mediilor, inegalitatea CBS, inegalitatea Young,
            inegalitatea H¨older, inegalitatea Bergstr¨om, inegalitatea Radon, inegalitatea Huygens, etc. sunt
            cazuri particulare sau se pot demonstra cu ajutorul inegalit˘at , ii lui Jensen sau sunt echivalente
            cu inegalitatea lui Jensen (v. [1] - [3], [8], [9]). Ea are o enunt , are foarte simpl˘a:

            Teorema 1. (Inegalitatea ponderat˘a a lui Jensen [1]) Dac˘a f : I ⊆ R → R este o funct ,ie
            convex˘a, I-interval, atunci
                                               n                  n       !
                                              X                  X
                                                 w k f(x k ) ≥ f    w k x k                               (J)
                                              k=1                k=1
                                                       n             n
                                                      P              P
            unde w k > 0, x k ∈ I, ∀k ∈ {1, 2, . . . , n},  w k x k ∈ I,  w k = 1.
                                                      k=1           k=1

                Dac˘a f este o funct , ie concav˘a pe I, semnul de inegalitate din (J) se inverseaz˘a.

                Egalitatea ˆın (J) are loc dac˘a s , i numai dac˘a x 1 = x 2 = . . . = x n , sau cˆand funct , ia f este
            funct , ie liniar˘a (afin˘a).

                Pornind de la aceast˘a inegalitate celebr˘a, vom obt , ine o nou˘a inegalitate pentru funct , ii
            convexe, respectiv funct , ii concave.

            Teorema 2. (Inegalitate de convexitate/concavitate) Dac˘a f : I ⊆ (0, ∞) → R este o funct ,ie
                                                            S − a k
            convex˘a pe intervalul I, astfel ˆıncˆat a k > 0,       ∈ I, ∀k ∈ {1, 2, . . . , n}, n − 1 ∈ I, iar
                                                              a k
             n
             P
                a k = S atunci are loc inegalitatea
            k=1
                                            n              ‹
                                                     S − a k
                                           X
                                               a k f          ≥ f(n − 1) · S .                           (C)
                                                       a k
                                           k=1
                Dac˘a f este o funct ,ie concav˘a pe I, semnul de inegalitate din (C) se inverseaz˘a.

                Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a a 1 = a 2 = . . . = a n , sau cˆand funct ,ia f este funct ,ie
            liniar˘a.
               1
                Profesor dr., Colegiul Nat , ional ,,Al. I. Cuza”, Corabia, d.marghidanu@gmail.com

                                                            7
   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12