Page 7 - REVISTA MATINF Nr. 5

O inegalitate pentru funct¸ii convexe/concave

Dorin M˘arghidanu 1

Pornind de la inegalitatea ponderat˘a a lui Jensen se obt , ine o inegalitate foarte interesant˘a.
Prin particularizarea acestei inegalit˘at , i la diferite funct , ii convexe, se obt , in numeroase aplicat , ii.
ˆ
Inegalitatea lui Jensen este foarte cunoscut˘a s , i utilizat˘a. In lumea inegalit˘at , ilor ea este chiar
considerat˘a drept ,,regina inegalit˘at , ilor”, deoarece este o inegalitate foarte puternic˘a. Multe din
inegalit˘at , ile celebre – de exemplu: inegalitatea mediilor, inegalitatea CBS, inegalitatea Young,
inegalitatea H¨older, inegalitatea Bergstr¨om, inegalitatea Radon, inegalitatea Huygens, etc. sunt
cazuri particulare sau se pot demonstra cu ajutorul inegalit˘at , ii lui Jensen sau sunt echivalente
cu inegalitatea lui Jensen (v. [1] - [3], [8], [9]). Ea are o enunt , are foarte simpl˘a:

Teorema 1. (Inegalitatea ponderat˘a a lui Jensen [1]) Dac˘a f : I ⊆ R → R este o funct ,ie
convex˘a, I-interval, atunci
n n !
X X
w k f(x k ) ≥ f w k x k (J)
k=1 k=1
n n
P P
unde w k > 0, x k ∈ I, ∀k ∈ {1, 2, . . . , n}, w k x k ∈ I, w k = 1.
k=1 k=1

Dac˘a f este o funct , ie concav˘a pe I, semnul de inegalitate din (J) se inverseaz˘a.

Egalitatea ˆın (J) are loc dac˘a s , i numai dac˘a x 1 = x 2 = . . . = x n , sau cˆand funct , ia f este
funct , ie liniar˘a (afin˘a).

Pornind de la aceast˘a inegalitate celebr˘a, vom obt , ine o nou˘a inegalitate pentru funct , ii
convexe, respectiv funct , ii concave.

Teorema 2. (Inegalitate de convexitate/concavitate) Dac˘a f : I ⊆ (0, ∞) → R este o funct ,ie
S − a k
convex˘a pe intervalul I, astfel ˆıncˆat a k > 0, ∈ I, ∀k ∈ {1, 2, . . . , n}, n − 1 ∈ I, iar
a k
n
P
a k = S atunci are loc inegalitatea
k=1
n  ‹
S − a k
X
a k f ≥ f(n − 1) · S . (C)
a k
k=1
Dac˘a f este o funct ,ie concav˘a pe I, semnul de inegalitate din (C) se inverseaz˘a.

Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a a 1 = a 2 = . . . = a n , sau cˆand funct ,ia f este funct ,ie
liniar˘a.
1
Profesor dr., Colegiul Nat , ional ,,Al. I. Cuza”, Corabia, d.marghidanu@gmail.com

7