Page 85 - MATINF Nr. 4
P. 85
˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 85
Z √ 2 6
4
M 78. Calculat ,i x + x dx, x ∈ (0, 1).
1 − x 4
Daniel Jinga, Pites , ti
Ê
2
É 1 1
1 4
x · 4 2 x + − 2 · 1 −
Z + x Z 2
x 2 x x
Solut ,ie. Integrala dat˘a se scrie I = dx = dx =
1 1 1
x − x 3 − x 3 1 −
x x x 2
Ê Ê
1 1 1 1
2 0 2 0
4 4
Z x + − 2 · x + Z x + − 2 · x +
x x x x
dx = dx. Efectu˘am substitut , ia
1 1 1 1 2
3
x + − x + x + 4 − x +
x x 3 x x
Z √
2
2
1 4 t − 2 Z t(t − 2)
x + = t, deci t > 2 s , i calcul˘am integrala J = dt = p dt =
x t (4 − t ) (4t − t ) 4 (t − 2) 3
2
2
4
2
√ 0
(t − 2) t − 2 √
Z 2 4 2 √
2
2 2 dt. Efectu˘am substitut , ia 4 t − 2 = y, deci y > 4 2 s , i calcul˘am integrala
2
4 − (t − 2)
Z 4 Z Z Z Z
y 1 1 1 1 1 1 1 1
K = dy = dy − dy = dy − √ √ dy +
4
4 − y 8 4 y + 2 4 y − 2 4 y + 2 8 2 y − 2
4
4
2
√ √
1 Z 1 1 1 y − 4 2 1 y Z 2
√ √ dy = √ ·A− √ √ ln √ + √ √ arctg √ , cu A = dy.
4
2
8 2 y + 2 4 2 16 2 · 4 2 y + 4 2 8 2 · 4 2 4 2 y + 2
√ √ 0
2 2
Z y 2 1 + y −
y
Z 2 y 2 Z y
Fie B = dy. Atunci A + B = dy = √ dy =
4
y + 2 2 2 √
y 2 y + y − 2
2
y 2 y + 2 2
√ √ 0 √
2 2 2 √
y − − y + y + + 4 8
1 y Z y 1 y
√ arctg √ + C. Analog, A − B = √ dy = √ ln √ + C.
4 4 2 4 √
8 8 2 √ 2 8 2 4
y + − 2 2 y + − 8
y y
√ √
2 2 √
y − y + + 4 8
1 y 1 y
Prin adunare obt , inem A = √ arctg √ + √ ln √ + C, prin urmare I =
4
4
2 8 4 8 4 8 2 √
4
y + − 8
√ √ y
2 2 √
y − y + + 4 8 √
1 y 1 y 1 y − 4 2 1 y
√ arctg √ + √ ln √ − √ √ ln √ + √ √ arctg √ + C,
4
4
8 2 4 8 16 2 2 √ 8 2 · 4 2 y + 4 2 4 2 · 4 2 4 2
y + − 4 8
y
É
1
unde y = 4 x + .
2
x 2
π
Z 2x
2 sin x (1 + sin 2x + e )
M 79. Calculat ,i integrala I = π dx.
2x
0 e sin x +
4
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava
