Page 87 - MATINF Nr. 4

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 87

Probleme propuse pentru liceu

Clasa a IX-a

M 101. Determinat , i s , irurile (a n ) cu proprietatea c˘a
n≥0

a n (1 − a n+1 ) ≤ a n+2 ≤ a n+1 (1 − a n ), ∀ n ≥ 0.

Cristinel Mortici, Viforˆata

M 102. Fie a, b, c > 1 astfel ˆıncˆat a + b + c = 2019. Demonstrat , i inegalit˘at , ile:

1 1 1 1
a) + + ≥ ;
a − 1 b − 1 c − 1 224
2
b) abc + 2 · 673 ≤ 225(ab + bc + ca).

Sorin Ulmeanu, Pites , ti

2
2
2
2
M 103. Fie a 1 , a 2 , . . . , a n ≥ 0 astfel ˆıncˆat (n − 1) (a + a + . . . + a ) ≥ (a 1 + a 2 + . . . + a n ) .
1
2
n
2 3
3 2
2
2
3
3
Ar˘atat , i c˘a (n − 1) (a + a + . . . + a ) ≥ (a + a + . . . + a ) .
1 2 n 1 2 n
Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin
ˆ
M 104. In triunghiul ABC se consider˘a ˆın˘alt , imile BE s , i CF, unde E ∈ (AC), F ∈ (AB) s , i fie
−−→ −−→ −→
D ∈ (BC) astfel ˆıncˆat DA = BE + CF.
BD AC 2
a) Ar˘atat , i c˘a = .
DC AB 2
b) Dac˘a AD este ˆın˘alt , ime, median˘a sau bisectoare, atunci 4ABC este echilateral.
Daniel Jinga, Pites , ti

M 105. Demonstrat , i c˘a ˆın orice triunghi ABC avem

1  2r ‹ 2  2 A 2 B 2 C ‹ a 2 b 2 c 2 2r  2 A 2 B 2 C ‹
ctg + ctg + ctg ≤ + + ≤ ctg + ctg + ctg .
3 R 2 2 2 bc ac ab 3R 2 2 2

Marin Chirciu, Pites , ti