Page 83 - MATINF Nr. 4
P. 83
˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 83
1
2
2 2
3
3
3
3
Solut ,ie. Pentru orice n ≥ 1 avem n x n + nx ≥ 2n x , deci x ≤ 2 (n x n + nx ) s , i
n
n
n
n
1 2n
3
2
2
3
3
nx ≤ (n x n + nx ), de unde deducem c˘a lim x n = lim nx = 0. Rezult˘a c˘a lim nx = 0,
n
2n n n n→∞ n→∞ n a n→∞ n
3
3
deci lim n x n = a s , i astfel s , irul y n = · n x n converge c˘atre .
n→∞ 2n + 1 2
M 74. Fie a, b, c, d ∈ (0, ∞) s , i s , irurile (x n ) , (y n ) definite prin
n≥1 n≥1
ax n + by n cx n + dy n
x 1 = 0, y 1 = 1, x n+1 = , y n+1 = , ∀n ≥ 1.
a + b c + d
Ar˘atat ,i c˘a s , irurile (x n ) n≥1 , (y n ) n≥1 sunt convergente, au aceeas , i limit˘a s , i calculat ,i aceast˘a
si
limit˘a.
Marin Chirciu, Pites , ti
Solut ,ie (Leonard Giugiuc, Drobeta Turnu Severin). Ne propunem s˘a ar˘at˘am o metod˘a general˘a
de calcul al limitelor unor astfel de s , iruri recurente.
Teorem˘a: Fie numerele reale fixate α, β, x s , i y cu x, y ∈ (0, 1). Consider˘am s , irurile (x n ) n≥1 , si
(y n ) definite prin x 1 = α, y 1 = β, x n+1 = xx n + (1 − x) y n , y n+1 = yx n + (1 − y) y n , ∀ n ≥ 1.
n≥1
Atunci s , irurile (x n ) n≥1 , (y n ) n≥1 sunt convergente s , i au aceeas , i limit˘a.
si
x 1 − x
x n+1 x n
Demonstrat ,ie: Avem = A , ∀ n ≥ 1, unde A = . De aici deducem
y n+1 y n y 1 − y
x n n−1 α
c˘a = A , ∀ n ≥ 1. Cum r˘ad˘acinile polinomului caracteristic al matricei A
y n β
1 1 1 − x 1 0 y 1 − x
sunt 1 s , i x − y, obt , inem c˘a A = · , de unde
1 − x + y 1 −y 0 x − y 1 −1
1 1 1 − x 1 0 y 1 − x
A n−1 = · n−1 . Rezult˘a c˘a lim x n =
1 − x + y 1 −y 0 (x − y) 1 −1 n→∞ y n
α α
lim A n−1 = lim A n−1 . Utilizˆand c˘a |x − y| < 1, avem
n→∞ β n→∞ β
1 1 1 − x 1 0 y 1 − x
lim A n−1 = · lim n−1
n→∞ 1 − x + y 1 −y n→∞ 0 (x − y) 1 −1
1 1 1 − x 1 0 y 1 − x 1 y 1 − x
= · = · .
1 − x + y 1 −y 0 0 1 −1 1 − x + y y 1 − x
1 y 1 − x α
ay+β(1−x)
x n 1−x+y
Astfel lim = · = .
n→∞ y n 1 − x + y y 1 − x β ay+β(1−x)
1−x+y
Pentru problema propus˘a, aplicˆand teorema pentru x = a , y = c , α = 0 s , i β = 1 obt , inem
a+b c+d
b(c+d)
x n
lim = ac+2bc+bd .
n→∞ y n b(c+d)
ac+2bc+bd
M 75. Fie f, g : [a, b[→ R dou˘a funct ,ii continue, unde a, b ∈ R, a < b s , i fie (a n ) un s , ir cu
n≥0
a n ∈ [a, b], pentru orice n ∈ N, astfel ˆıncˆat
|f(a m ) − g(a n )| ≤ |a m − a n | ,
pentru orice m 6= n, m, n ∈ N. Ar˘atat ,i c˘a exist˘a c ∈ [a, b] astfel ˆıncˆat f(c) = g(c).
Cristinel Mortici, Tˆargovis , te
