Page 88 - MATINF Nr. 4

˘
88 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

Clasa a X-a

∗
M 106. Fie n ∈ N . Rezolvat , i ˆın R ecuat , ia ln ((n + 1)x − 2n) = (n + 1) ln x − n ln 2.
Marin Chirciu, Pites , ti
√
∗
n
n
M 107. Fie n ∈ N . Aflat , i (a, z) ∈ R × C astfel ˆıncˆat |z| = a ≥ 2 s , i az n+1 − z − a = 0.
Daniel Jinga, Pites , ti

n
M 108. Fie n ∈ N, n ≥ 4 s , i U n = {z ∈ C | z = 1}. Determinat , i cel mai mic num˘ar natural k
astfel ˆıncˆat orice submult , ime cu k elemente a mult , imii U n s˘a cont , in˘a patru elemente cu suma
egal˘a cu zero.

Marin Ionescu, Pites , ti

2
3
M 109. Rezolvat , i ecuat , ia sin 6x · tg 3x = 2 sin 4x.
Titu Zvonaru, Com˘anes , ti

M 110. Fie k ≥ −1 un num˘ar real fixat s , i fie S mult , imea triunghiurilor neobtuzunghice.
Determinat , i

2
n
€p p p Š o
min k(ctg A + ctg B + ctg C) + ctg A + ctg B + ctg C
atunci cˆand 4ABC parcurge mult , imea S.

Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin

Clasa a XI-a

„ Ž
2020 a −ab
M 111. Se consider˘a matricea X(a, b) = 0 2019 b , unde a, b ∈ C.
0 0 2020
„ Ž
1 x y
a) Ar˘atat , i c˘a exist˘a o infinitate de matrice P ∈ M 3 (C) de forma P = 0 1 z astfel
0 0 1
ˆıncˆat P · X(a, b) = X(0, 0) · P.
n
∗
b) Calculat , i (X(a, b)) , unde n ∈ N .
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti