Page 80 - MATINF Nr. 4

˘
80 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

Clasa a X-a

M 66. Un s , ir de numere reale (a n ) are propriet˘at ,ile:
n≥0
i) a n > 1, pentru orice n ∈ N;
 ‹
a n+1
ii) s , irul este descresc˘ator.
a n
n≥0

Ar˘atat ,i c˘a s , irul log a n+1 este, de asemenea, descresc˘ator.
a n n≥0
Andrei Vernescu, Bucures , ti
a n+2 a n+1
Solut ,ie. Fie n ∈ N. Din inegalitatea ≤ rezult˘a c˘a a n a n+2 ≤ a 2 n+1 , (1). Pentru
a n+1 a n
lg a n+2 lg a n+1
a ar˘ata c˘a log a n+2 ≤ log a n+1 , avem de stabilit c˘a ≤ sau, echivalent,
a n+1 a n
lg a n+1 lg a n
ˆ
2
c˘a lg a n · lg a n+2 ≤ lg a n+1 . Intr-adev˘ar, folosind Inegalitatea mediilor s , i relat , ia (1) obt , inem
 ‹ 2  ‹ 2  2 ‹ 2
lg a n + lg a n+2 lg(a n a n+2 ) lg a n+1 2
lg a n · lg a n+2 ≤ = ≤ = lg a n+1 .
2 2 2
k
k
k
M 67. Fie a, b, c ≥ 0 s , i k > 0. Not˘am s = a + b + c . Demonstrat ,i c˘a
a k b k c k 3s(k + 1) − s 2
+ + ≥ .
k + b k+1 k + c k+1 k + a k+1 3k(k + 1)
Marin Ionescu, Pites , ti

Solut ,ie. Utilizˆand inegalitatea x k+1 ≥ (k+1)x−k, ∀ x, k ≥ 0, (1), avem k+b k+1 ≥ (k+1)b, de
k k
b k+1 b k k b k a k 1  a b ‹
k
unde obt , inem, succesiv: ≤ ; ≥ 1 − ; ≥ a − .
k + b k+1 k + 1 k + b k+1 k + 1 k + b k+1 k k + 1
k k
k k
b k 1  b c ‹ c k 1  c a ‹
k
k
Analog, ≥ b − s , i ≥ c − , deci prin adunare obt , inem
k + c k+1 k k + 1 k + a k+1 k k + 1
k k
k k
k k
a k b k c k 1  a b + b c + c a ‹ s 2
k k
k k
k k
+ + ≥ s − . Cum a b + b c + c a ≤ ,
k + b k+1 k + c k+1 k + a k+1 k k + 1 3
rezult˘a inegalitatea din enunt , .
Pentru a demonstra inegalitatea (1), putem utiliza urm˘atorul rezultat: dac˘a f este o
funct , ie concav˘a pe I, atunci pentru orice α ≥ 1 s , i x, y ∈ I a.ˆı. αx + (1 − α)y ∈ I avem
ˆ
f (αx + (1 − α)y) ≤ αf(x) + (1 − α)f(y), (2). Intr-adev˘ar, luˆand z = αx + (1 − α)y avem
1  1 ‹ 1 1  1 ‹
x = · z + 1 − y s , i ∈ (0, 1], deci f(x) ≥ · f(z) + 1 − f(y), adic˘a (2).
α α α α α
Inegalitatea (1) este evident adev˘arat˘a dac˘a x = 0 sau dac˘a (k + 1)x − k ≤ 0. Fie
x > 0 s , i k ≥ 0 a.ˆı. (k + 1)x − k > 0. Aplicˆand (2) pentru funct , ia concav˘a ln x avem
ln ((k + 1)x + (1 − k − 1) · 1) ≤ (k + 1) ln x + (1 − k − 1) ln 1, de unde obt , inem inegalitatea (1).
M 68. Fie z 1 , z 2 , z 3 ∈ C distincte dou˘a cˆate dou˘a astfel ˆıncˆat |z 1 | = |z 2 | = |z 3 | s , i
|z 1 − z 2 |(z 1 + z 2 ) + |z 2 − z 3 |(z 2 + z 3 ) + |z 3 − z 1 |(z 3 + z 1 ) = 0.
Ar˘atat ,i c˘a z 1 , z 2 , z 3 sunt afixele vˆarfurilor unui triunghi echilateral.

Daniel Jinga, Pites , ti