Page 89 - MATINF Nr. 4

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 89

M 112. Fie matricele A, B ∈ M 3 (C) astfel ˆıncˆat AB = BA, det(A + B) = det A + det B s , i
det(A − B) = det A − det B. Ar˘atat , i c˘a:

3
3
3
a) det (A + B ) = (det A + det B) ;
3
3
3
b) det (A − B ) = (det A − det B) .
Daniel Jinga, Pites , ti
a + b 2a + b na + b
 ‹  ‹  ‹
M 113. Fie a, b ∈ (0, ∞), Calculat , i lim 1 + · 1 + · . . . · 1 + .
n→∞ n 2 n 2 n 2
Marin Chirciu, Pites , ti

M 114. a) Aflat , i a, b ∈ R pentru care exist˘a limita de funct , ie lim sin(ax + b).
x→∞
b) Aflat , i a, b ∈ R pentru care exist˘a limita de s , ir lim sin(an + b).
n→∞

* * *

M 115. Fie a, b, c, d ≥ 0 astfel ˆıncˆat a + b + c + d = 4.

‹ 2

abc + abd + acd + bcd 3
2
2
2
2
a) Ar˘atat , i c˘a a + b + c + d + 8 ≥ 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd).
4
Cˆand are loc egalitatea?
2
b)* (problem˘a deschis˘a) Exist˘a k > astfel ˆıncˆat inegalitatea
3
abc + abd + acd + bcd
 ‹ k
2
2
2
2
a + b + c + d + 8 ≥ 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)
4
ˆ
s˘a fie adev˘arat˘a pentru orice numere a, b, c, d care ˆındeplinesc condit , iile date? In caz afirmativ,
determinat , i valorile lui k.
Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin

Clasa a XII-a

M 116. Fie H o ramur˘a a unei hiperbole, cu vˆarful in A. Fie X, Y ∈ H. Dac˘a X 6= Y , definim
X ∗ Y = Z, unde Z este al doilea punct de intersect , ie cu H al paralelei duse prin A la XY , iar
dac˘a X = Y definim X ∗ Y = Z, unde Z este al doilea punct de intersect , ie cu H al paralelei
duse prin A la tangenta ˆın X la H. Demonstrat , i c˘a (H, ∗) este grup abelian.

* * *