Page 81 - MATINF Nr. 4
P. 81
˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 81
Solut ,ie. Fie A(z 1 ), B(z 2 ) s , i C(z 3 ) ˆıntr-un reper cartezian xOy, unde originea O este centrul
cercului circumscris triunghiului ABC, deoarece |z 1 | = |z 2 | = |z 3 |. Trecˆand la vectori, relat , ia
−→ −−→ −−→ −→ −→ −→
~
din ipotez˘a se scrie c OA + OB + a OB + OC + b OC + OA = 0, unde c = AB, a = BC,
−→ −−→ −→ −→ −−→ −→
~
b = CA. Atunci obt , inem, succesiv: (a + b + c) OA + OB + OC − aOA + bOB + cOC = 0;
−→ −−→ −→ 1 −→ −−→ −→ −−→ −→
OA + OB + OC = aOA + bOB + cOC ; OH = OI, unde H este ortocentrul iar I
a + b + c
centrul cercului ˆınscris triunghiului ABC. Rezult˘a c˘a H = I, prin urmare triunghiul ABC este
echilateral.
M 69. Rezolvat ,i ˆın R × R sistemul
§ 7 7 7
(x + y) = x + y .
2
2
x + xy + y = 1
Alexandru Sz˝or¨os, Timis , oara
2 2
2
7
7
7
Solut ,ie. Utilizˆand identitatea (x + y) = x + y + 7xy(x + y) (x + xy + y ) , sistemul devine
§
7xy(x + y) = 0 2 2
2
2
x + xy + y = 1 . Pentru x = 0 obt , inem y = 1, deci y = ±1. Pentru y = 0 obt , inem x = 1,
2
deci x = ±1. Pentru x + y = 0, adic˘a y = −x, obt , inem x = 1, deci x = ±1. Astfel mult , imea
solut , iilor este {(0, ±1), (±1, 0), (1, −1)), (−1, 1)}.
M 70. Ar˘atat ,i c˘a ˆın orice triunghi ABC are loc inegalitatea
√ √ √ È
ab + bc + ca ≥ p + 3r(4R + r).
Marian Cucoanes , , M˘ar˘as , es , ti s , i Marius Dr˘agan, Bucures , ti
√ √
2
Solut ,ie. Deoarece ab + bc + ca = p + r(4R + r), inegalitatea din enunt , devine ab + bc +
√ p
ca−p ≥ 3 (ab + bc + ca − p ). Utilizˆand substitut ,iile lui Ravi x = p−a, y = p−b, z = p−c,
2
2
avem p = x + y + z, ab + bc + ca − p = xy + yz + zx, iar inegalitatea anterioar˘a devine
p p p p
(x + y)(x + z)+ (x + y)(y + z)+ (x + z)(y + z)−(x+y +z) ≥ 3(xy + yz + zx). Prin
2
2
2
ridicare la p˘atrat (membrul stˆang este nenegativ!), aceasta este echivalent˘a cu x + y + z +
p p p
xy + yz + zx ≥ x (x + y)(x + z) + y (x + y)(y + z) + z (x + z)(y + z), inegalitate care este
p p
adev˘arat˘a deoarece, folosind Inegalitatea mediilor, avem x (x + y)(x + z)+y (x + y)(y + z)+
x(x + y + x + z) y(x + y + y + z) z(x + z + y + z)
p
2
2
2
z (x + z)(y + z) ≤ + + = x + y + z +
2 2 2
xy + yz + zx.
Clasa a XI-a
13a b
M 71. a) Dat ,i exemplu de dou˘a matrice de forma X = cu a, b ∈ N s , i det(X) = 1.
b 10a
b) Ar˘atat ,i c˘a exist˘a o infinitate de matrice cu proprietatea de la punctul a).
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
