Page 86 - MATINF Nr. 4

˘
86 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

√ Z π 2 sin x [(sin x + cos x) + e ] √ Z π 2
2x
2
Solut ,ie. Avem I = 2 2x dx = 2 e −2x sin x(sin x + cos x) dx
0 e (sin x + cos x) 0
| {z }
I 1
√ Z π 2 sin x 1 Z π 2
−x
−x
+ 2 dx, (1). Dar I 1 = − e (sin x + cos x) e (sin x + cos x) 0 dx =
0 sin x + cos x 2 0
| {z }
I 2
π
2
e −2x (sin x + cos x) 2 1 − e −π π
− = , (2), iar, utilizˆand schimbarea de variabil˘a −x = t, avem
4 4 2
π 0 π
Z Z  ‹ π
2 cos t 2 sin t 2 π
I 2 = dt = 1 − dt = t − I 2 , deci I 2 = , (3). Din (1), (2)
cos t + sin t sin t + sin t 4
0 √ 0 0
2 (π + 1 − e −π )
s , i (3) obt , inem c˘a I = .
4
M 80. Un s , ir de numere reale pozitive (a n ) este descresc˘ator s , i are proprietatea
n≥1
1
(n + 2)a n+2 + (n + 1)a n+1 + na n = ,
n + 1
∗
pentru orice n ∈ N .
a) Ar˘atat ,i c˘a s , irul (a n ) este convergent, cu lim a n = 0.
n≥1 n→∞
2
b) Calculat ,i lim n a n .
n→∞
c) Dat ,i un exemplu de s , ir cu proprietatea din enunt ,.
Andrei Vernescu, Bucures , ti

Solut ,ie. a) Pentru orice n ≥ 1, din a n+2 ≤ a n+1 ≤ a n , rezult˘a c˘a

(3n + 3)a n+2 ≤ (n + 2)a n+2 + (n + 1)a n+1 + na n ≤ (3n + 3)a n ,

1 1
ˆ
adic˘a (3n + 3)a n+2 ≤ ≤ (3n + 3)a n , deci a n+2 ≤ ≤ a n . Inlocuind n cu n − 2
n + 1 3(n + 1) 2
1 1
ˆın inegalitatea din partea stˆang˘a, rezult˘a c˘a ≤ a n ≤ , pentru orice n ≥ 3.
3(n + 1) 2 3(n − 1) 2
Aplicˆand Criteriul cles , telui obt , inem c˘a lim a n = 0, deci s , irul (a n ) este convergent.
n→∞ n≥1
n 2 n 2
2
b) De asemenea, rezult˘a c˘a ≤ n a n ≤ , pentru orice n ≥ 3, deci aplicˆand
3(n + 1) 2 3(n − 1) 2
1
2
acelas , i criteriu obt , inem c˘a lim n a n = .
n→∞ 3
1 Z 1 x n
c) Se verific˘a us , or c˘a un exemplu de s , ir cu propriet˘at , ile date este a n = dx.
2
n x + x + 1
0