Page 79 - MATINF Nr. 4
P. 79
˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 79
#
2
É 2 2
2n − 1 2n−1 2n − 1 S + 2n − 1 2n−1
P x k
P
≥ + = , unde S = x k . Procedˆand ana-
2n k=0 2n 2n 2n k=0
2n−1 i+n−1 S + 2n − 1 2n
Q P 2 4n−1
log de alte n − 1 ori s , i ˆınmult , ind obt , inem c˘a x k mod 2n + 4n ≥ =
i=0 k=i 2n
2n
S − 1
1 + ≥ S (ultima inegalitate se obt , ine din Inegalitatea lui Bernoulli). Egalitatea are
2n
1
loc dac˘a s , i numai dac˘a x 0 = x 1 = . . . = x 2n−1 = .
2n
M 64. Fie ABC un triunghi s , i fie punctele D s , i E astfel ˆıncˆat B ∈ (CD), C ∈ (BE) s , i
^BAD ≡ ^CAE. Ar˘atat ,i c˘a
AB · AD AC · AE
= .
BD CE
Dao Thanh Oai, Vietnam s , i Leonard Giugiuc, Romˆania
Solut ,ie. Utiliz˘am notat , iile uzuale ˆın 4ABC s , i fie BD = x, CE = y. Not˘am cu P
punctul de intersect , ie dintre bisectoarea comun˘a a unghiurilor BAC s , i DAE cu dreapta
ac ab
BC. Conform Teoremei bisectoarei ˆın 4ABC avem PB = s , i PC = , deci
b + c b + c
c(a + x) + bx b(a + y) + cy
PD = s , i PE = . Atunci, conform Teoremei bisectoarei ˆın 4ADE
b + c b + c
AD c(a + x) + bx
avem = , (1). Fie α = m (^BAE) = m (^CAD). Aplicˆand Teorema
AE b(a + y) + cy
sin C sin B
sinusurilor ˆın triunghiurile ACD s , i ABE avem AD = (a+x)· s , i AE = (a+y)· , deci
sin α sin α
AD (a + x) sin C c(a + x) c(a + x) + bx c(a + x) bx
= = , (2). Din (1) s , i (2) rezult˘a c˘a = = ,
AE (a + y) sin B b(a + y) b(a + y) + cy b(a + y) cy
de unde obt , inem egalitatea din enunt , .
M 65. Fie ABC un triunghi echilateral, P un punct situat pe segmentul (BC) s , i Q un punct
_
situat pe arcul mic AB al cercului circumscris triunghiului ABC astfel ˆıncˆat ^APC ≡ ^QPB.
Ar˘atat ,i c˘a
É
PC QA
− = 1.
PB QB
Thanos Kalogerakis, Grecia
0
0
0
Solut ,ie. Fie M mijlocul lui [BC] s , i A simetricul lui A fat , ˘a de M. Atunci A B s , i A C sunt
0
tangente la cercul circumscris 4ABC. Evident, P ∈ (MB). Deoarece ^A PM ≡ ^APM ≡
0
^QPB, rezult˘a c˘a P ∈ (QA ). Utiliz˘am urm˘atoarea Teorem˘a de concurent ,˘a: simediana
dus˘a printr-un vˆarf al unui triunghi trece prin punctul de intersect , ie a tangentelor duse prin
celelalte dou˘a vˆarfuri la cercul circumscris triunghiului (a se vedea, de exemplu, Y. Zhao, Three
Lemmas in Geometry, M.I.T., Winter Camp, 2010, http://yufeizhao.com/olympiad/three_
geometry_lemmas.pdf). Reamintim c˘a simediana este simetrica dreptei suport a medianei fat , ˘a
de dreapta suport a bisectoarei din acelas , i vˆarf. Rezult˘a c˘a QP este simedian˘a ˆın 4BQC, deci
PC QB
^PQB ≡ ^MQC s , i ^PQC ≡ ^MQB. Utilizˆand Teorema sinusurilor obt , inem · =
PB QC
sin (^PQC) sin (^MQB) MB QC PC QC 2
= = · , deci = , (1). Notˆand m (^QBA) = u,
sin (^PQB) sin (^MQC) MC QB PB QB 2
◦
◦
avem m (^QBC) = 60 + u s , i m (^QAB) = 60 − u. Fie R raza cercului circumscris 4ABC.
◦
◦
Avem QA + QB = 2R (sin u + sin(60 − u)) = 2R sin(60 + u), deci QA + QB = QC, (2).
Din (1) s , i (2) rezult˘a egalitatea din enunt , .
