Page 78 - MATINF Nr. 4

˘
78 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU
CONCURSURI

Rezolvarea problemelor pentru liceu din MATINF nr. 2

Clasa a IX-a

M 61. Fie x, y, z ∈ R astfel ˆıncˆat 0 < 2x < 3y < 4z. Demonstrat ,i inegalitatea

 ‹  ‹
x y z y z x
2 + + − + + ≥ 3.
y z x x y z
Ovidiu Pop, Satu Mare
x z
Solut ,ie. Notˆand = u s , i = v, avem 0 < 2u < 3 < 4v. Inegalitatea din enunt , este echivalent˘a
y y
 ‹  ‹
1 v 1 u
2
2
cu 2 u + + − + v + ≥ 3, adic˘a, dup˘a calcule, cu (u − v) + (4v − 3)(u − 1) +
v u u v
2
(3 − 2u)(v − 1) ≥ 0, care este adev˘arat˘a. Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a u = v = 1,
echivalent cu x = y = z.
M 62. Fie s , irul (x n ) definit prin x 1 = 1, x 2 = 2 s , i x n+1 = 2 x n − x n−1 , pentru n ≥ 2. Ar˘atat ,i
n≥1
c˘a s , irul (x n ) este cresc˘ator s , i c˘a x n ≥ n, oricare ar fi n ≥ 1.
n≥1
Cristinel Mortici, Tˆargovis , te

∗
Solut ,ie (Leonard Giugiuc, Drobeta Turnu Severin). Demonstr˘am c˘a x n+1 ∈ N s , i x n+1 > x n
pentru orice n ≥ 1 prin induct , ie. Afirmat , ia este adev˘arat˘a pentru n = 1. Presupunem c˘a
∗
x k ∈ N s , i x k > x k−1 , unde k ≥ 2. Atunci x k+1 = 2 − x k−1 > 2 − x k ≥ x k (ultima inegalitate
x k
x k
∗
se obt , ine din Inegalitatea lui Bernoulli) s , i, evident, x k+1 ∈ N . Cum orice s , ir strict cresc˘ator
(x n ) n≥1 de numere naturale nenule are proprietatea c˘a x n ≥ n, oricare ar fi n ≥ 1 (induct , ie!),
problema este rezolvat˘a.
M 63. Fie n ∈ N, n ≥ 2. Determinat ,i numerele reale x 0 , x 1 , x 2 , . . . , x 2n−1 astfel ˆıncˆat

2n−1  i+n−1 ‹ 2n−1
Y X 2 4n − 1 X
x + =
k mod 2n x k
4n
i=0 k=i k=0
(k mod 2n reprezint˘a restul ˆımp˘art ,irii lui k la 2n).

Daniel Jinga s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

n−1 4n − 1 2n−1
P 2 P 2
Solut ,ie. Aplicˆand Inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz avem x + x +
k k
k=0 4n k=n
" Π#"
‚ 2
É
4n − 1 n−1 1 1 2n − 1 1 1 2n−1
2
P
2
P
= x + + . . . + + + . . . + + x +
4n k=0 k (2n) 2 (2n) 2 2n (2n) 2 (2n) 2 k=n k
| {z } | {z }
n ori n ori