Page 111 - MATINF Nr.2

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 111

Clasa a VIII-a

2
2
2
M 56. Fie a, b, c numere reale astfel ˆıncˆat a + b + c = −2 s , i a + b + c = 4. Calculat , i diferent , a
dintre cea mai mare valoare s , i cea mai mic˘a valoare posibile pentru c.

Marin Chirciu, Pites , ti

2
2
2
M 57. Ar˘atat , i c˘a dac˘a a, b, c sunt numere reale pozitive astfel ˆıncˆat a + b + c = 3, atunci:

1 1 1 9 + a + b + c
a 1 + + b 1 + + c 1 + ≤ √ .
a b c 2 2

Cristian Grecu, Tˆargovis , te

7x 7y
M 58. Dac˘a x, y > 0, − 2y − 1 ≥ 0 s , i − 2x − 1 ≥ 0, demonstrat , i inegalitatea:
2 2

7x 7y √
− 2y − 1 + − 2x − 1 ≤ x + y.
2 2

Ovidiu Pop, Satu Mare

a b c
∗
M 59. Fie a, b, c ∈ R cu proprietatea c˘a + + ≥ 0. Ar˘atat , i c˘a:
b c a

Ç 3 å 4 Ç 3 å 4 Ç 3 å 4
a b c
1 + + 1 + + 1 + > 15.
b 3 c 3 a 3
Alexandru Sz˝or¨os, Timis , oara

M 60. Fie V A 1 A 2 . . . A n o piramid˘a regulat˘a (n ≥ 3) de vˆarf V s , i baz˘a poligonul regulat
◦
A 1 A 2 . . . A n . M˘asurile unghiurilor de la vˆarfurile fet , elor laterale sunt egale cu 60 .
a) Ar˘atat , i c˘a n ≤ 5.

b) Dac˘a un plan α intersecteaz˘a muchiile V A 1 , V A 2 , . . . , V A n ˆın punctele M 1 , M 2 , . . . ,
respectiv M n , 3 ≤ n ≤ 5, atunci

≥ V M 1 + V M 2 + . . . + V M n .
P M 1 M 2 ...M n

Marian Haiducu, Pites , ti