Page 112 - MATINF Nr.2

˘
112 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

Clasa a IX-a

M 61. Fie x, y, z ∈ R astfel ˆıncˆat 0 < 2x < 3y < 4z. Demonstrat , i inegalitatea

Ç å Ç å
x y z y z x
2 + + − + + ≥ 3.
y z x x y z

Ovidiu Pop, Satu Mare

M 62. Fie s , irul (x n ) definit prin x 1 = 1, x 2 = 2 s , i x n+1 = 2 x n − x n−1 , pentru n ≥ 2. Ar˘atat , i
n≥1
c˘a s , irul (x n ) este cresc˘ator s , i c˘a x n ≥ n, oricare ar fi n ≥ 1.
n≥1

Cristinel Mortici, Tˆargovis , te

M 63. Fie n ∈ N, n ≥ 2. Determinat , i numerele reale x 0 , x 1 , x 2 , . . . , x 2n−1 astfel ˆıncˆat

2n−1 Ç i+n−1 å 2n−1
Y X 2 4n − 1 X
x + =
k mod 2n 4n x k
i=0 k=i k=0
(k mod 2n reprezint˘a restul ˆımp˘art , irii lui k la 2n).

Daniel Jinga s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

M 64. Fie ABC un triunghi s , i fie punctele D s , i E astfel ˆıncˆat B ∈ (CD), C ∈ (BE) s , i
^BAD ≡ ^CAE. Ar˘atat , i c˘a
AB · AD AC · AE
= .
BD CE

Dao Thanh Oai, Vietnam s , i Leonard Giugiuc, Romˆania

M 65. Fie ABC un triunghi echilateral, P un punct situat pe segmentul (BC) s , i Q un punct
_
situat pe arcul mic AB al cercului circumscris triunghiului ABC astfel ˆıncˆat ^APC ≡ ^QPB.
Ar˘atat , i c˘a

PC QA
− = 1.
PB QB

Thanos Kalogerakis, Grecia