Page 113 - MATINF Nr.2

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 113

Clasa a X-a

M 66. Un s , ir de numere reale (a n ) are propriet˘at , ile:
n≥0
i) a n > 1, pentru orice n ∈ N;
Ç å
a n+1
ii) s , irul este descresc˘ator.
a n n≥0
Ä ä
Ar˘atat , i c˘a s , irul log a n+1 este, de asemenea, descresc˘ator.
a n n≥0

Andrei Vernescu, Bucures , ti

k
k
k
M 67. Fie a, b, c ≥ 0 s , i k > 0. Not˘am s = a + b + c . Demonstrat , i c˘a
a k b k c k 3s(k + 1) − s 2
+ + ≥ .
k + b k+1 k + c k+1 k + a k+1 3k(k + 1)

Marin Ionescu, Pites , ti

M 68. Fie z 1 , z 2 , z 3 ∈ C distincte dou˘a cˆate dou˘a astfel ˆıncˆat |z 1 | = |z 2 | = |z 3 | s , i

|z 1 − z 2 |(z 1 + z 2 ) + |z 2 − z 3 |(z 2 + z 3 ) + |z 3 − z 1 |(z 3 + z 1 ) = 0.

Ar˘atat , i c˘a z 1 , z 2 , z 3 sunt afixele vˆarfurilor unui triunghi echilateral.

Daniel Jinga, Pites , ti

M 69. Rezolvat , i ˆın R × R sistemul


7
7
 (x + y) = x + y 7
.
2
2
x + xy + y = 1

Alexandru Sz˝or¨os, Timis , oara
M 70. Ar˘atat , i c˘a ˆın orice triunghi ABC are loc inegalitatea

√ √ √ »
ab + bc + ca ≥ p + 3r(4R + r).

Marian Cucoanes , , M˘ar˘as , es , ti s , i Marius Dr˘agan, Bucures , ti