Page 114 - MATINF Nr.2

˘
114 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

Clasa a XI-a

Ñ é
13a b
M 71. a) Dat , i exemplu de dou˘a matrice de forma X = cu a, b ∈ N s , i det(X) = 1.
b 10a

b) Ar˘atat , i c˘a exist˘a o infinitate de matrice cu proprietatea de la punctul a).

Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

2
M 72. Ar˘atat , i c˘a dac˘a matricele A, B ∈ M 2 (C) verific˘a relat , iile A B = ABA, det(A + B) =
det(B) 6= 0 s , i tr (AB) 6= 0, atunci AB = BA.

R˘amˆane concluzia adev˘arat˘a dac˘a se renunt , ˘a la ipoteza det(B) 6= 0?

Dar dac˘a se renunt , ˘a la ipoteza tr (AB) 6= 0?

Florin St˘anescu, G˘aes , ti

3
3
M 73. Fie s , irul de numere reale pozitive (x n ) astfel ˆıncˆat lim (n x n + nx ) = a, a ∈ R.
n≥1 n→∞ n
4
n x n
Ar˘atat , i c˘a s , irul (y n ) definit prin y n = este convergent s , i calculat , i limita sa.
n≥1 2n + 1
Dinu Teodorescu, Tˆargovis , te

M 74. Fie a, b, c, d ∈ (0, ∞) s , i s , irurile (x n ) , (y n ) definite prin
n≥1 n≥1

ax n + by n cx n + dy n
x 1 = 0, y 1 = 1, x n+1 = , y n+1 = , ∀n ≥ 1.
a + b c + d

Ar˘atat , i c˘a s , irurile (x n ) n≥1 , (y n ) n≥1 sunt convergente, au aceeas , i limit˘a s , i calculat , i aceast˘a
si
limit˘a.

Marin Chirciu, Pites , ti

M 75. Fie f, g : [a, b[→ R dou˘a funct , ii continue, unde a, b ∈ R, a < b s , i fie (a n ) n≥0 un s , ir cu
a n ∈ [a, b], pentru orice n ∈ N, astfel ˆıncˆat

|f(a m ) − g(a n )| ≤ |a m − a n | ,

pentru orice m 6= n, m, n ∈ N. Ar˘atat , i c˘a exist˘a c ∈ [a, b] astfel ˆıncˆat f(c) = g(c).

Cristinel Mortici, Tˆargovis , te