Page 108 - MATINF Nr.2

˘
108 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU
CONCURSURI

Probleme propuse

Clasa a V-a

M 41. Pe o tabl˘a sunt scrise 10 numere naturale diferite, toate puteri ale lui 2. Nou˘a elevi ai
clasei a V-a ies pe rˆand la tabl˘a, aleg dou˘a numere pe care le s , terg, iar ˆın locul lor scriu suma
acestora.

a) Dac˘a num˘arul scris de ultimul elev este 1023, se pot determina cele 10 numere scrise
init , ial pe tabl˘a?

b) Dac˘a cele 10 numere sunt puteri pare consecutive nenule ale lui 2, s˘a se determine ultima
cifr˘a a num˘arului care r˘amˆane scris ultimul pe tabl˘a.

Mihai Burdus , a, Pites , ti

M 42. Fie abcd num˘ar natural cu a > b > c > d > 0 s , i N = abcd − dcba.

a) Determinat , i valoarea maxim˘a a lui N.

b) Determinat , i valorile num˘arului abcd pentru care N = 3087.

Adrian T , urcanu, Romˆania s , i Talal Shaikh, India

M 43. Ar˘atat , i c˘a oricare ar fi cifrele nenule x, y ˆın baza 10 s , i oricare ar fi n ∈ N, n ≥ 2, num˘arul

N = xyxy . . . xy + yxyx . . . yx
| {z } | {z }
n de xy n de yx

nu este p˘atrat perfect.

Marian Haiducu, Pites , ti

M 44. Num˘arul abba d˘a prin ˆımp˘art , ire la ac cˆatul aa0 s , i restul aa.

a) Ar˘atat , i c˘a a divide b.

b) Aflat , i numerele abc cu proprietatea din enunt , .

Mugurel Simion, S , tef˘anes , ti

M 45. Determinat , i num˘arul abc s , tiind c˘a ac · b = bc · a + 1.

Florin Antohe, Galat , i s , i Marius Antonescu, Cos , es , ti