Page 110 - MATINF Nr.2

˘
110 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

Clasa a VII-a

M 51. Ar˘atat , i c˘a ˆın orice triunghi are loc inegalitatea

r 3a n 3b n 3c n
4 + ≤ + + ,
n
n
n
R b + c n c + a n a + b n
unde n ∈ N.

Alexandru Sz˝or¨os, Timis , oara

M 52. Ar˘atat , i c˘a toate numerele naturale nenule x, y, z care verific˘a egalitatea

x + 1 y + 1 z + 1
× = ,
x y z

sunt de forma

d ab + dbt + 1
Ç 2 å
2
(x, y, z) = da · , db(da + t), d ab ,
t
2
unde a, b, d, t sunt numere naturale nenule astfel ˆıncˆat t|d ab + 1 s , i (a, b) = 1.

Amir Hossein Parvardi, Canada

M 53. Ar˘atat , i c˘a exist˘a dou˘a numere prime r˘asturnate p s , i q care verific˘a egalitatea:

√ √ √
» »
p + q − p − q = 2.

Ionel Tudor, C˘alug˘areni

◦
◦
M 54. Se consider˘a patrulaterul convex ABCD cu m (^A) = 80 , m (^C) = 140 s , i AB =
AD = a cm. Calculat , i AC.

Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti

√ √ √ √
M 55. Fie a, b ≥ 0 astfel ˆıncˆat a + b = 1. Demonstrat , i c˘a 5a + 4b + 5b + 4a ≥ 3. Cˆand
are loc egalitatea?

Ovidiu Pop, Satu Mare