Page 115 - MATINF Nr.2

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 115

Clasa a XII-a

M 76. Demonstrat , i c˘a exist˘a o infinitate de numere ˆıntregi n cu proprietatea c˘a pentru orice
2
3
num˘ar ˆıntreg k, num˘arul n + 3kn + n + 3k este divizibil cu 2019.
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

3
M 77. Fie M mult , imea tuturor tripletelor (a, b, c) ∈ R pentru care a ≥ 1 ≥ b ≥ c, a+b+c < 0
s , i ab + ac + bc = 3.

a) Ar˘atat , i c˘a pentru orice (a, b, c) ∈ M exist˘a un unic t ∈ [1, ∞) astfel ˆıncˆat

2
3 (t + 1)
a + b + c = − .
2t

b) Calculat , i max{a + b + c | (a, b, c) ∈ M}.

Leonard Giugiuc s , i Diana Tr˘ailescu, Drobeta Turnu Severin
√
4
2
Z x + x 6
M 78. Calculat , i dx, x ∈ (0, 1).
1 − x 4
Daniel Jinga, Pites , ti

Z π 2x
2 sin x (1 + sin 2x + e )
M 79. Calculat , i integrala I = Å π ã dx.
2x
0 e sin x +
4
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava

M 80. Un s , ir de numere reale pozitive (a n ) este descresc˘ator s , i are proprietatea
n≥1
1
(n + 2)a n+2 + (n + 1)a n+1 + na n = ,
n + 1

∗
pentru orice n ∈ N .
a) Ar˘atat , i c˘a s , irul (a n ) este convergent, cu lim a n = 0.
n≥1 n→∞
2
b) Calculat , i lim n a n .
n→∞
c) Dat , i un exemplu de s , ir cu proprietatea din enunt , .

Andrei Vernescu, Bucures , ti