Page 109 - MATINF Nr.2

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 109

Clasa a VI-a

ˆ
M 46. In jurul punctului O sunt formate 15 unghiuri ^A 1 OA 2 , ^A 2 OA 3 ,...,^A 15 OA 1 , cu
m˘asurile ˆın grade exprimate prin numere naturale divizibile cu 3 astfel ˆıncˆat

^A 1 OA 2 < ^A 2 OA 3 < . . . < ^A 15 OA 1 .

a) Determinat , i m˘asura unghiului format de bisectoarele unghiurilor ^A 1 OA 15 s , i ^A 7 OA 8 .

b) Cˆate unghiuri ^A i OA j cu i, j ∈ {1, 2, ..., 15} sunt unghiuri drepte?

Mihai Burdus , a, Pites , ti

2
M 47. a) Exist˘a trei numere naturale nenule diferite a, b, c cu propriet˘at , ile: a ∈ M b ∩ M c ,
2
2
b ∈ M a ∩ M c s , i c ∈ M a ∩ M b ?
2
b) Exist˘a trei numere naturale nenule diferite a, b, c cu propriet˘at , ile: a + 1 ∈ M b ∩ M c ,
2
2
b + 1 ∈ M a ∩ M c s , i c + 1 ∈ M a ∩ M b ?
Dan Nedeianu, Drobeta Turnu Severin

∗
M 48. Fie x 1 , x 2 , . . . , x n , n ∈ N numere rat , ionale pozitive astfel ˆıncˆat numerele k + x k sunt
direct proport , ionale cu numerele 2k + x k , k ∈ {1, 2, . . . , n} s , i

1 2 n n
+ + ... + = .
1 + x 1 2 + x 2 n + x n 2n + 1

x 1 + x 2 + . . . + x n
Ar˘atat , i c˘a este num˘ar natural p˘atrat perfect.
n + 1

Cristian Grecu, Tˆargovis , te

M 49. Ar˘atat , i c˘a dac˘a A ∪ B ∪ C are 2017 elemente, unde A, B, C sunt trei mult , imi cu acelas , i
cardinal cu proprietatea c˘a A ∩ B, A ∩ C s , i B ∩ C au cardinalele exprimate prin trei numere
naturale consecutive, atunci intersect , ia celor trei mult , imi este nevid˘a.

Marian Haiducu, Pites , ti

M 50. Pe o tabl˘a sunt desenate triunghiuri s , i p˘atrate, f˘ar˘a puncte comune, ˆın total 2019 figuri
geometrice. Un elev s , terge cˆate o latur˘a de la fiecare p˘atrat s , i cˆate o latur˘a de la fiecare triunghi.
Spunem despre un vˆarf al unei figuri geometrice c˘a are gradul k, dac˘a face parte din k laturi
distincte ale figurii geometrice respective. S , tiind c˘a, dup˘a s , tergerea muchiilor, pe tabl˘a sunt
3018 puncte de gradul 2, determinat , i num˘arul de triunghiuri desenate init , ial pe tabl˘a.

Adrian T , urcanu, Pites , ti