Page 22 - MATINF Nr. 13-14

22 M.N. Popescu

Solut ,ie. Deoarece triunghiul este dreptunghic, conform teoremei lui Pitagora,

2
2
2
x + y = z .
Prin urmare avem de rezolvat sistemul de ecuat , ii polinomiale
 2 2 2
x + y = z

2
x − (y + z − x) = xy .
y + (z + x − y) = yz
 2
S˘ ordon˘am termenii ecuat , iilor dup˘a puterile descresc˘atoare ale lui z
a
 2 2 2
 1 · z + 0 · z − (x + y ) = 0
2
2
0 · z + 1 · z + (−x + xy − x + y) = 0 . (7)
0 · z + (y − 1) · z + (−y − x + y) = 0
 2 2
2
Din acest sistem elimin˘am z ˆınlocuind (7) 1 cu (7) 1 − z×(7) 2 s , i obt , inem
 2 2 2
 − (−x + xy − x + y) · z − (x + y ) = 0
2
1 · z + (−x + xy − x + y) = 0 , (8)
(y − 1) · z + (−y − x + y) = 0
 2
din acest nou sistem explicit˘am z din ecuat , ia (8) 2 ,

2
z = − −x + xy − x + y , (9)
s , i ˆınlocuim ˆın ecuat , iile (8) 1 s , i (8) 3 pentru a obt , ine un sistem de ecuat , ii numai pentru x s , i y,

ß 2 2 2 2
(−x + xy − x + y) − (x + y ) = 0 ,
2
2
− (y − 1) · (−x + xy − x + y) + (−y − x + y) = 0
echivalent
ß 2 2 2 2
(x + 1) (−x + y) − (x + y ) = 0 .
2
− (y − 1) (x + 1) (−x + y) + (−y − x + y) = 0
Ordon˘am termenii ecuat , iilor dup˘a puterile descresc˘atoare ale lui y s , i obt , inem

® î 2 ó î 2 ó 2
2
2
2
(x + 1) − 1 y + −2 (x + 1) x y + (x + 1) x − x = 0
2
[− (x + 1) − 1] y + [(x + 1) + (x + 1) x + 1] y − (x + 1) x − x = 0,
echivalent
® 2 2 3
(x + 2) xy − 2 (x + 1) xy + (x + 2) x = 0
î 2 ó
2
− (x + 2) y + (x + 1) + 1 y − (x + 2) x = 0,
simplific˘am cu x (laturile triunghiului sunt numere pozitive)
® 2 2 2
(x + 2) y − 2 (x + 1) y + (x + 2) x = 0
î ó (10)
2
2
− (x + 2) y + (x + 1) + 1 y − (x + 2) x = 0.
2 ˆ
Din acest sistem elimin˘am y . Intˆai adun˘am ecuat , iile s , i obt , inem
î ó
2
− (x + 1) + 1 y + (x + 2) x (x − 1) = 0,