Page 20 - MATINF Nr. 13-14

Sisteme de ecuatii polinomiale si metoda elimin˘arii
,
,

Marin Nicolae Popescu 1

Chinezii au descoperit o metod˘a de rezolvare a sistemelor de ecuat , ii liniare cu orice num˘ar
de necunoscute ˆın timpul dinastiei Han (206 ˆı.e.n. - 220 e.n.). Ea apare ˆın celebra carte
Jiuzhang suanshu (Nou˘a capitole de art˘a matematic˘a) care a fost scris˘a ˆın aceast˘a perioad˘a
s , i supraviet , uies , te pˆan˘a azi ˆıntr-o versiune din secolul al III-lea. Metoda este ˆın esent , ˘a ceea ce
acum numim ,,eliminare gaussian˘a”, eliminˆand sistematic necunoscutele ˆıntr-un sistem


 a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n = b 1
. . .



a n1 x 1 + a n2 x 2 + . . . + a nn x n = b n
a
prin sc˘aderea unui multiplu adecvat al fiec˘arei ecuat , ii din cele de sub ea pˆan˘ cˆand se obt , ine un
sistem triunghiular:

0
0
0
 a x 1 + a x 2 + . . . + a x n = b 0
 11 12 1n 1
 0 0 0
 a x 2 + . . . + a x n = b
22 2n 2
. .
 .


a x n = b
 0 0
nn n
apoi determinˆand pe rˆand x n , x n−1 , . . . , x 1 prin substitut , ii succesive.
ˆ a
In jurul secolului al XII-lea, matematicienii chinezi au descoperit c˘ metoda elimin˘arii poate
fi adaptat˘a s , i la sisteme de ecuat , ii polinomiale ˆın dou˘a sau mai multe variabile. De exemplu,
pentru un sistem de dou˘a ecuat , ii polinomiale ˆın dou˘a necunoscute
ß m m−1
a 0 (x) y + a 1 (x) y + . . . + a m (x) = 0 , (1)
m
b 0 (x) y + b 1 (x) y m−1 + . . . + b m (x) = 0
unde a i (x) , b j (x) sunt polinoame ˆın x, termenul y m poate fi eliminat prin formarea ecuat , iei
b 0 (x) × (1) − a 0 (x) × (1) (ˆınmult , im cu b 0 (x) prima ecuat , ie s , i din rezultat sc˘adem a doua
1 2
ecuat , ie ˆınmult , it˘ cu a 0 (x) ) dˆand, s˘a zicem,
a
c 0 (x) y m−1 + c 1 (x) y m−2 + . . . + c m−1 (x) = 0. (2)

Putem forma o a doua ecuat , ie de grad m − 1 ˆın y ˆınmult , ind (2) cu y, apoi eliminˆand din
m
a
nou y ˆıntre (2)×y s , i (1) 1 , dˆand, s˘ zicem,
d 0 (x) y m−1 + d 1 (x) y m−2 + . . . + d m−1 (x) = 0. (3)

Problema se reduce acum la eliminarea lui y m−1 ˆıntre ecuat , iile sistemului format din ecuat , iile
(2), (3) care au un grad mai mic ˆın y decˆat ecuat , iile sistemului (1). Astfel se poate continua
inductiv pˆan˘ cˆand se obt , ine o ecuat , ie numai ˆın x.
a
1
Lect. univ. dr., Universitatea Nat , ional˘a de S , tiint , ˘a s , i Tehnologie POLITEHNICA Bucures , ti, Centrul
Universitar Pites , ti, marin.popescu3007@upb.ro

20