Page 25 - MATINF Nr. 13-14

a
Aplicarea teoremei de medie pentru integrala definit˘

1
Marin Ionescu s , i Adrian Gobej 2

ˆ
In manualele s , colare pentru clasa a XII-a, M1, vezi [6] pag. 55, teorema de medie este
a
prezentat˘ sub forma:
Teorema 1 (teorema de medie). . Dac˘a f : [a, b] → R (a < b) este o funct , ie continu˘a,
Z b
a
atunci exist˘ c ∈ (a, b) astfel ˆıncˆat: f (x) dx = f (c) (b − a).
a
Dac˘ f este continu˘ s , i pozitiv˘ pe [a, b], subgraficul funct , iei f are aceeas , i arie cu dreptunghiul
a
a
a
Z b
1
de baz˘ b−a s , i ˆın˘alt , ime f(c), iar num˘arul f (x) dx se numes , te valoarea medie a funct , iei
a
b − a a
f pe [a, b].
Rezultatul din teorem˘ este un caz particular al teoremei lui Lagrange aplicat unei primitive
a
F : [a, b] → R a funct , iei f.
Constanta c ∈ (a, b) din teorem˘a, ˆın general nu este unic˘a.
ˆ a a
In cele ce urmeaz˘ vom da aplicat , ii ale rezultatelor de mai sus s , i vom scoate ˆın evident , ˘ unele
situat , ii ˆın care teorema este aplicat˘a incorect s , i abuziv. Problemele sunt alese din variantele
propuse de minister elevilor pentru preg˘atirea examenului de bacalaureat, din manualele s , colare
s , i alte resurse pe care le vom ment , iona explicit.
x
Aplicat , ia 1. Fie f : (−1, ∞) → R, f (x) = √ . Pentru fiecare num˘ar natural n, se
3
x + 1
1
Z
n
a
a
consider˘ num˘arul I n = f (x ) dx. Demonstrat , i c˘ lim I n = 0.
n→∞
0
Bacalaureat, iulie 2020, enunt , part , ial, problem˘ aleas˘ din [7]
a
a
ˆ
In mod incorect, de multe ori se procedeaz˘a astfel:
Z 1 c n
n
n
a
Conform teoremei de medie, exist˘ c ∈ (0, 1) astfel ˆıncˆat f (x ) dx = f (c ) = √ s , i
3
0 c + 1
c n Z 1
n
cum lim √ = 0, rezult˘ lim f (x ) dx = 0.
a
3
n→∞ c + 1 n→∞ 0
ˆ
In cele de mai sus teorema de medie este aplicat˘a incorect. Este gres , it deoarece c ∈ (0, 1)
n
depinde de num˘arul natural n, putem scrie c n ∈ (0, 1), iar nu ˆıntotdeauna lim c = 0. Aici
n
n→∞
n
f n (x) = f (x ) reprezint˘a un s , ir de funct , ii s , i e logic s˘a obt , inem un s , ir de puncte intermediare.
Rezolvarea corect˘ a problemei este urm˘atoarea:
a
1
Profesor, Colegiul Nat , ional ,,Zinca Golescu”, Pites , ti, marin.ionescu61@gmail.com
2
Profesor, Colegiul Nat , ional ,,Vlaicu Vod˘a”, Curtea de Arges , , adi go2000@yahoo.com
25