Page 27 - MATINF Nr. 13-14

Aplicarea teoremei de medie pentru integrala definit˘ 27
a

1 1 n
Din < c n < , rezult˘ < nc n < 1 s , i cu ,,teorema cles , telui” obt , inem lim nc n = 1
a
n + 1 n n + 1 n→∞
π
s , i astfel lim arctg nc n = arctg 1 = .
n→∞ 4
Z x
3
Aplicat , ia 4. Fie f : R → R, f (x) = 4x + 1. Demonstrat , i c˘ lim ln (f (t)) dt = ∞.
a
x→∞
1
a
Testul 7 de antrenament bacalaureat, matematic˘ informatic˘a, 2021, enunt , part , ial, [7]
Solut ,ie. Pentru t ≥ 1 au loc inegalit˘at , ile f (t) > 1 s , i ln (f (t)) > 0.

Folosind propriet˘at , ile integralei definite avem:

Z x Z x−1 Z x
ln (f (t)) dt = ln (f (t)) dt + ln (f (t)) dt, ∀x > 2.
1 1 x−1

x−1
Z
a
Cum pentru x ≥ 2, ln (f (t)) dt ≥ 0, rezult˘
1
x x
Z Z
ln (f (t)) dt ≥ ln (f (t)) dt. (1)
1 x−1

x
Z
a
Vom demonstra c˘ lim ln (f (t)) dt = ∞.
x→∞
x−1
Aplicˆand teorema de medie pentru ultima integral˘a, exist˘a c (x) ∈ (x − 1, x) astfel ˆıncˆat
Z x Z x
ln (f (t)) dt = ln f (c (x)) . Cum c (x) > x − 1, rezult˘ ln (f (t)) dt > ln (f (x − 1)) .
a
x−1 x−1
Se arat˘a us , or c˘a lim ln (f (x − 1)) = ∞ s , i se obt , ine
x→∞
Z x
lim ln (f (t)) dt = ∞. (2)
x→∞
x−1

a
Din (1) s , i (2), rezult˘ cerint , a.
ˆ
In ˆıncheiere, propunem cititorilor urm˘atoarele probleme:
2n x + 1
Z
1. S˘a se calculeze lim n √ dx.
6
n→∞ x + 1
n
a
a
Admitere 2001, Universitatea Tehnic˘ din Cluj-Napoca, problem˘ aleas˘ din [1], pag. 280
a
n
h π i sin x
∗
2. Pentru orice n ∈ N , se consider˘a funct , ia f n : 0, → R, f n (x) = s , i integrala
3 9 + x 2
π
Z
3
I n = f n (x) dx. S˘ se determine lim I n .
a
n→∞
0
a
Bacalaureat, 2000, Enunt , part , ial, problem˘ aleas˘ din [1], pag. 278
a
Z 2n x
3. Calculat , i lim n 3 dx.
n→∞ 1 + x 6
n
(Marin Ionescu s , i Adrian Gobej)