Page 21 - MATINF Nr. 13-14

Sisteme de ecuat , ii polinomiale s , i metoda elimin˘arii 21

Aceast˘a metod˘a a fost extins˘a la patru variabile ˆın lucrarea Siyuan yujian (Oglinda de
jad a celor patru necunoscute) din 1303 a lui Zh¯u Shiji´e. Aplicabilitatea acestei metode nu
dep˘s , es , te sistemele de patru ecuat , ii ˆın patru necunoscute (de unde s , i numele). Ideea este destul
a
de general˘a, dar devine greu de aplicat atunci cˆand exist˘a mai mult de patru necunoscute.

a
Mai departe vom exemplifica aceast˘ metod˘ pe cˆateva probleme de geometrie.
a
a
Problema 1. S˘ se determine intersect , iile conicelor
2
2
2
2
y + xy + x − 1 = 0, 2y + 3xy + 4x − 3 = 0.
Solut ,ie. Intersect , iile conicelor sunt solut , iile sistemului de ecuat , ii
ß 2 2
y + xy + x − 1 = 0
2
2
2y + 3xy + 4x − 3 = 0 . (4)
2
Elimin˘am y ˆıntre ecuat , iile sistemului prin (4) 2 − 2×(4) 1 ; obt , inem ecuat , ia liniar˘a ˆın y
2
xy + 2x − 1 = 0. (5)

O nou˘a ecuat , ie liniar˘a ˆın y se obt , ine din x×(4) 1 − y×(5), adic˘a

3
2

−x + 1 y + x − x = 0. (6)
2
Acum elimin˘am y ˆıntre ecuat , iile (5) s , i (6) prin x×(6)− (−x + 1) ×(5) s , i obt , inem
2
3
2

x x − x − −x + 1 2x − 1 = 0,
echivalent
2
4
3x − 4x + 1 = 0.
Ecuat , ia la care am ajuns nu este o ecuat , ie tipic˘a de gradul 4, deoarece este p˘atratic˘a ˆın
2
x = z. De aceea, ea este mult mai us , or de rezolvat. Ea se reduce la ecuat , ia
2
3z − 4z + 1 = 0,
de solut , ii
4 ± 2
z 1,2 = .
6
2
Folosim x = z s , i obt , inem
1
x 1,2 = ±1, x 3,4 = ±√
3
pentru care corespund, cu (5),
1
y 1,2 = ∓1, y 3,4 = ±√ .
3

a
Problema 2. S˘ se g˘aseasc˘ catetele x, y s , i ipotenuza z ale unui triunghi dreptunghic dac˘
a
a
2
2
x − (y + z − x) = xy, y + (z + x − y) = yz.