Page 136 - MATINF Nr. 13-14

˘
136 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

y B − y A b
Apoi m AB = = s , i cum CD ⊥ AB, rezult˘a c˘a m CD · m AB = −1 de unde
x B − x A a + c
a + c
obt , inem m CD = − . Prin urmare, ecuat , ia dreptei CD este
b
a + c (a + c)c
y − y C = m CD (x − x C ), adic˘ y = − (x − c), deci y E = , (2).
a
b b
bc (a + c)c
Din (1) s , i (2) rezult˘ = , care conduce la
a
a + 3c b
2
b = (a + c)(a + 3c) > 0, a ∈ (−∞, −3c) ∪ (−c, +∞).

Pentru a afla valorile posibile ale lui B vom evalua tg B.
 »
a
p  − a+3c , dac˘ a ∈ (−∞, −3c)
b (a + c)(a + 3c) a+c
Astfel, tg B = m AB = = = .
a + c a + c  » a+3c , dac˘ a ∈ (−c, +∞)
a
a+c
Fie funct , ia f : (−∞, −3c) ∪ (−c, +∞) → R,

 »
 π − arctg x+3c , dac˘ x ∈ (−∞, −3c)
a
x+c
f(x) = .
»
a
arctg , dac˘ x ∈ (−c, +∞)
 x+3c
x+c
Mult , imea valorilor pe care le poate lua unghiul B este egal˘a cu imaginea funct , iei f.
c
0
f este derivabil˘ s , i f (x) = − p , ∀ x ∈ (−∞, −3c) ∪ (−c, +∞).
a
2(x + 2c) (x + c)(x + 3c)
0
Deducem c˘a f (x) > 0, ∀x ∈ (−∞, −3c), deci f este strict cresc˘atoare pe (−∞, −3c).
3π Å 3π ã
Cum lim f(x) = s , i lim f(x) = π, deducem c˘a f((−∞, −3c)) = , π .
x→−∞ 4 x→−3c 4
x<−3c
0
Totodat˘a, f (x) < 0, ∀x ∈ (−c, +∞), deci f este strict descresc˘atoare pe (−c, +∞).
π π π π
Cum lim f(x) = , s , i lim f(x) = deducem c˘a f((−c, +∞)) = , .
x→−c 2 x→+∞ 4 4 2
x>−c
π π Å 3π ã
ˆ , ∪ , π .
In consecint , ˘a, B ∈ Imf =
4 2 4
b) Pentru exprim˘arile cerute vom lucra tot cu tangente. Astfel,

b y C − y A b m AC − m AB 2bc
tg B = m AB = , tg C = m AC = = , tg A = = .
a + c x C − x A a − c 1 + m AC m AB a + b − c 2
2
2
p
b (a + c)(a + 3c)
p
T , inˆand cont c˘a b = (a + c)(a + 3c) s , i c˘a tg B = , obt , inem tg B = ,
a + c a + c
2
a + 4ac + 3c 2
2
2
2
2
2
2
deci tg B = , deci a (1 − tg B) + 2ac (2 − tg B) + c (3 − tg B) = 0.
2
a + 2ac + c 2