Page 134 - MATINF Nr. 13-14

˘
134 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

Clasa a XI-a

Ü ê
a − 1 0 0 −1
0 b − 1 −1 0
M 215. Fie matricea A = , unde a, b ∈ C.
0 2 b + 2 0
2 0 0 a + 2
∗
n
Calculat ,i A , n ∈ N .
Marin Chirciu, Pites , ti

Ü ê
0 0
a n b n
0 x n y n 0
n
Solut ,ie. Prin induct , ie rezult˘a us , or c˘a A = , unde
0 u n v n 0
c n 0 0 d n
ã n ã n
Å ã Å Å ã Å
a n b n a − 1 −1 x n y n b − 1 −1
= s , i = .
c n d n 2 a + 2 u n v n 2 b + 2
Å ã
−1 −1
2
k
∗
Fie B = . Avem B = B, deci B = B pentru orice k ∈ N (induct , ie).
2 2
Aplicˆand Binomul lui Newton, avem
ã n
Å
a − 1 −1 n 0 n 1 n−1 2 n−2 n
= (aI 2 + B) = C a I 2 + C a + C a + . . . + C B
2 a + 2 n n n n
Å n n n n ã
2a − (a + 1) a − (a + 1)
n
n
n
= a I 2 + [(a + 1) − a ] B = .
n
n
2(a + 1) − 2a n 2(a + 1) − a n
ã n
Å Å n n n n ã
b − 1 −1 2b − (b + 1) b − (b + 1)
Astfel = , deci
n
n
2 b + 2 2(b + 1) − 2b n 2(b + 1) − b n
Ü n n n n ê
2a − (a + 1) 0 0 a − (a + 1)
n
n
0 2b − (b + 1) n b − (b + 1) n 0
n
A = .
n
n
0 2(b + 1) − 2b n 2(b + 1) − b n 0
n
n
2(a + 1) − 2a n 0 0 2(a + 1) − a n
M 216. Fie triunghiul ABC astfel ˆıncˆat mediana din B, mediatoarea lui [BC] s , i ˆın˘alt ,imea din
C sunt concurente.
a) Determinat ,i valorile posibile ale unghiului B.
b) Exprimat ,i valorile unghiurilor A s , i C ˆın funct ,ie de valoarea unghiului B.
A
c) Calculat ,i lim .
B→π C
B<π
Marcel T , ena s , i Mihai Prunescu, Bucures , ti