Page 133 - MATINF Nr. 13-14

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 133

a
Aplicˆand repetat aceast˘ recurent , ˘a, obt , inem c˘a
6
0
12
12
6
0
A = a 2022 = a 0 + 21 2 + 2 + 2 + . . . + 2 2016 = 1 + 21 2 + 2 + 2 + . . . + 2 2016 ,
deci
6
2
A − 22 = 21 · 2 · B, unde B = 1 + 64 + 64 + . . . + 64 335 .
Cum B este o sum˘a de 336 termeni de forma M9 + 1, rezult˘a c˘a B se divide cu 3, dar nu se
divide cu 9, deci A − 22 se divide cu 9, dar nu se divide cu 27.
ˆ
In concluzie, r˘aspunsul la ˆıntrebarea din enunt , este k = 2.
M 214. Fie P urm˘atoarea propozit ,ie:

2
2
2
2
2
∀ x ∃ y ∃ z a.ˆı. x yz + x y − 2yz − 2y − z − 1 = 0.
S˘ se demonstreze c˘a:
a
a) P este fals˘ ˆın mult ,imea numerelor ˆıntregi;
a
a
b) P este adev˘arat˘ ˆın mult ,imea numerelor rat ,ionale;
a
c) P este fals˘ ˆın mult ,imea numerelor reale;
d) P este adev˘arat˘ ˆın mult ,imea numerelor complexe.
a

Mihai Prunescu, Bucures , ti

Solut ,ie. Expresia la care se refer˘a propozit , ia se descompune ˆın factori. Apare urm˘atoarea
egalitate:
2 2
(x − 2)y − 1 (z + 1) = 0.

a
a) Dac˘ propozit , ia se refer˘ la numere ˆıntregi, fie x = 0 ∈ Z. Propozit , ia afirm˘ ˆın acest caz:
a
a
2
∃ y ∃ z a.ˆı. (2y + 1)(z + 1) = 0,
ceea ce nu este adev˘arat ˆın numere intregi.
b) Dac˘a propozit , ia se refer˘ la numere rat , ionale, fie x ∈ Q oarecare. Atunci, pentru
a
1
y = , z = 0,
2
x − 2
propozit , ia se verific˘a.
√
a
c) Dac˘ propozit , ia se refer˘ la numere reale, fie x = 2 ∈ R. Propozit , ia afirm˘ ˆın acest caz:
a
a
2
∃ z a.ˆı. z + 1 = 0,
ceea ce este fals ˆın numere reale.

a
d) Dac˘a propozit , ia se refer˘ la numere complexe, fie x ∈ C oarecare. Atunci, pentru
y = 0, z = i,

propozit , ia se verific˘a.