Page 132 - MATINF Nr. 13-14

˘
132 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

Solut ,ie. Pe cercul C(O, 1) din reperul cartezian xOy se consider˘a punctele P k (cos x k , sin x k ),
k = 1, n. Fie Q k (cos x k , 0) proiect , ia lui P k pe axa Ox, k = 1, n, R k (cos x k+1 , sin x k ) proiect , ia lui
P k pe dreapta P k+1 Q k+1 , k = 1, n − 1 s , i R n (0, sin x n ) proiect , ia lui P n pe axa Oy.

Atunci dreptunghiurile P 1 Q 1 Q 2 R 2 , P 2 Q 2 Q 3 R 3 , . . . , P n−1 Q n−1 Q n R n s , i P n Q n OR n au interi-
a
oarele disjuncte dou˘ cˆate dou˘ s , i incluse ˆın interiorul sfertului din cadranul I al cercului C(O, 1),
a
deci
1
< · A C(O,1) ,
A P 1 Q 1 Q 2 R 2 + A P 2 Q 2 Q 3 R 3 + . . . + A P n−1 Q n−1 Q nR n + A P nQ nOR n
4
a
adic˘
π
(cos x 1 −cos x 2 ) sin x 1 +(cos x 2 −cos x 3 ) sin x 2 +. . .+(cos x n−1 −cos x n ) sin x n−1 +cos x n sin x n < .
4
ˆ
Inlocuind
sin 2x 1 + sin(x 2 − x 1 ) − sin(x 1 + x 2 )
(cos x 1 − cos x 2 ) sin x 1 = ,
2
sin 2x 2 + sin(x 3 − x 2 ) − sin(x 2 + x 3 )
(cos x 2 − cos x 3 ) sin x 2 = ,
2
. . . ,
sin 2x n−1 + sin(x n − x n−1 ) − sin(x n−1 + x n )
(cos x n−1 − cos x n ) sin x n−1 = ,
2
sin 2x n
cos x n sin x n = ,
2

obt , inem inegalitatea din enunt , .

M 213. Fie num˘arul
A = C 0 + C 3 + C 6 + . . . + C 2022 .
2022 2022 2022 2022
k
Determinat ,i cel mai mare num˘ar natural k cu proprietatea c˘ 3 divide num˘arul A − 22.
a
Sorin Ulmeanu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

Solut ,ie. Pentru orice n ∈ N, not˘am

7
8
5
2
4
6
3
0
1
a n = C + C + C + . . . , b n = C + C + C + . . . , c n = C + C + C + . . . .
n n n n n n n n n
n
Evident, avem a 0 = 1, b 0 = c 0 = 0, a n + b n + c n = 2 , pentru orice n ∈ N.
∗
Folosind relat , ia de recurent , ˘ a combin˘arilor, pentru orice n ∈ N avem
a
a n = a n−1 +c n−1 = 2 n−1 −b n−1 , b n = b n−1 +a n−1 = 2 n−1 −c n−1 , c n = c n−1 +b n−1 = 2 n−1 −a n−1 .
Rezult˘ c˘ pentru orice n ≥ 3 avem
a
a
a n = 2 n−1 − b n−1 = 2 n−1 − 2 n−2 + c n−2 = 2 n−1 − 2 n−2 + 2 n−3 − a n−3 = −a n−3 + 3 · 2 n−3 .
Astfel, pentru orice n ≥ 6, avem
a n = a n−6 − 3 · 2 n−6 + 3 · 2 n−3 = a n−6 + 21 · 2 n−6 .