Page 131 - MATINF Nr. 13-14

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 131

5
ˆ
Pentru 1 ≤ s ≤ , avem g(s) > 0, deci f(q) > 0. Intr-adev˘ar,
2
2
2
g(s) = 4s(2s + 3)(s − 1)(5 − 2s) − 404s + 1236s − 297 ≥ −404s + 1236s − 297
2
2
> −420s + 1200s − 375 = 15(−28s + 80s − 25) = 15(5 − 2s)(14s − 5) ≥ 0.
5
Pentru s ≥ , deoarece
2
2
2
2
12s + 4s − 51 12s + 4s − 51 s 2 20s + 12s − 153
− q ≥ − =
16 16 3 48
2
20s + 12s − 155 (2s − 5)(10s + 31)
> = ≥ 0,
48 48
funct , ia f(q) este descresc˘atoare, deci
Å 2 ã 4 3 2 2 2
s 8(s + 3s − 36s + 27s + 81) 8(s − 3) (s + 9s + 9)
f(q) ≥ f = = ≥ 0.
3 9 9

Demonstrat , ia este ˆıncheiat˘a. Avem egalitate pentru a = b = c = d = e = f = 1.

M 211. Rezolvat ,i ˆın mult ,imea numerelor reale ecuat ,ia

9 x+1 − 4 · 6 x+1 + 4 x+2 = 1.

Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava

a
) − 1 = 0, adic˘
Solut ,ie. Ecuat , ia dat˘a poate fi rescris˘ ca (3 x+1 − 2 x+2 2 a
x
x
x
x
(3 · 3 − 4 · 2 − 1) (3 · 3 − 4 · 2 + 1) = 0.
2 1
Å ã x Å ã x
x
x
x
x
Cazul 1. 3 · 3 − 4 · 2 − 1 = 0, adic˘ 4 · 2 + 1 = 3 · 3 sau, echivalent, 4 + = 3,
a
3 3
cu solut , ia unic˘a x = 1, deoarece membrul stˆang este o funct , ie strict descresc˘atoare.
Å ã x Å ã x
3 1
x
x
x
x
a
Cazul 2. 3 · 3 − 4 · 2 + 1 = 0, adic˘ 3 · 3 + 1 = 4 · 2 sau, echivalent, 3 + = 4,
2 2
cu singurele solut , ii x = −1 s , i x = 0, deoarece membrul stˆang este o funct , ie strict convex˘a.
ˆ
In concluzie, x ∈ {−1, 0, 1}.
∗
M 212. Fie x 1 , x 2 , . . . , x n numere reale, n ∈ N , astfel ˆıncˆat
π
0 < x 1 < x 2 < . . . < x n < .
2
Demonstrat ,i c˘
a
sin 2x 1 + sin 2x 2 + . . . + sin 2x n + sin(x 2 − x 1 ) + sin(x 3 − x 2 ) + . . . + sin(x n − x n−1 )
π
< + sin(x 1 + x 2 ) + sin(x 2 + x 3 ) + . . . + sin(x n−1 + x n ).
2
Miguel Amengual Covas, Spania s , i Doru Anastasiu Popescu, Romˆania