Page 129 - MATINF Nr. 13-14

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 129

b) Aplicˆand Teorema lui Menelaus ˆın triunghiul DFC pentru transversala A − G − E, avem

DA FG CE 9 FG 5 FG 1
1 = · · = · · , deci = .
AF GC ED 5 GC 3 GC 3
Triunghiurile DFG s , i DGC au aceeas , i ˆın˘alt , ime s , i bazele ˆın raportul FG : GC, deci

FG 1 1 1
A DFG 2
= = , prin urmare A DFG = · A DFC = · DF · DC = 4a .
A DGC GC 3 4 8
Triunghiurile DAG s , i DGE au aceeas , i ˆın˘alt , ime s , i bazele ˆın raportul AG : GE, deci
AG 1 1 9a 2
A DAG
= = 2, prin urmare A DGE = · A DAE = · DA · DE = .
A DGE GE 3 6 2
9a 2 17a 2
ˆ 2 = .
In concluzie, avem A DEGF = A DFG + A DGE = 4a +
2 2
M 209. Rezolvat ,i ˆın mult ,imea numerelor reale ecuat ,ia
2
2
2
sin x cos x 80 (3 + cos 2x)
+ = .
8
6
8
2
1 − cos x 1 − sin x 224 + 32 cos 2x + sin 2x
Mih´aly Bencze, Bras , ov
kπ
Solut ,ie (Daniel V˘acaru, Pites , ti). Condit , ii de existent , ˘a: sin x, cos x 6= ±1, adic˘ x 6= , k ∈ Z.
a
2
Avem
2
2
2
2
sin x cos x 1 − cos x 1 − sin x
+ = +
8
8
8
8
1 − cos x 1 − sin x 1 − cos x 1 − sin x
1 1
= +
6
4
2
4
2
6
1 + cos x + cos x + cos x 1 + sin x + sin x + sin x
2
6
6
4
2
4
2 + sin x + cos x + sin x + cos x + sin x + cos x
=
2
4
6
2
4
6
(1 + cos x + cos x + cos x) 1 + sin x + sin x + sin x
6
6
4
4
3 + sin x + cos x + sin x + cos x
= .
4
2
4
(1 + cos x) (1 + cos x) 1 + sin x 1 + sin x
2
Dar, pentru orice x ∈ R, avem
2
2
4
2
2
4
2
sin x + cos x = sin x + cos x 2 − 2 sin x cos x = 1 − 1 · sin 2x,
2
2
6
2
2
2
2
6
2
2

sin x + cos x = sin x + cos x 3 − 3 sin x cos x sin x + cos x = 1 − 3 · sin 2x,
4
1
2
2
2
2

2
2

2
1 + sin x 1 + cos x = 1 + sin x + cos x + sin x cos x = 2 + · sin 2x,
4
1 1
4
2
4
4
4

4
4
4
1 + sin x 1 + cos x = 1 + sin x + cos x + sin x cos x = 2 − · sin 2x + · sin 2x.
2 16
2
Notˆand sin 2x = t, obt , inem c˘a
1 3
2
2
sin x cos x 3 + 1 − 2 · t + 1 − 4 · t 80(4 − t)
+ = Å ã Å ã = .
8
8
1 − cos x 1 − sin x 1 1 1 256 − 32t + t 3
2 + · t 2 − · t + · t 2
4 2 16
2
80 (3 + cos 2x) 80(3 + 1 − t) 80(4 − t)
Pe de alt˘a parte, avem = = .
6
2
224 + 32 cos 2x + sin 2x 224 + 32(1 − t) + t 3 256 − 32t + t 3
ß ™

Astfel ecuat , ia din enunt , este o identitate, valabil˘a pentru orice x ∈ R \ kπ k ∈ Z .
2