Page 32 - MATINF Nr. 11-12

32 D. Jinga

" Ç√ å n−3 #
Å ã n−4
1 125 3 27 2
c) Demonstrat , i c˘a I n = · − · − 4(n − 4) · I n−2 , pentru
n − 1 8 2 2 2
orice n ≥ 2.

Solut ,ie. a) Folosind integrarea prin p˘art , i, avem

√ √ 2 1
2
Z 2 √ Z √ … 1 Z 2 x +
2
2
I 0 = 4x + 1 dx = 2 x + dx = 2 … 4 dx
2 2 4 2 1
2
3 3 3 x +
4
√ √
Z 2 Ç… 1 å 0 1 Ç … 1 å 2
2
2
= 2 x · x + dx + ln x + x +
2 4 2 4 2
3 3
√ √
…
2 3
1 1 2 + 2
2
= 2x x + − I 0 + ln ,
4 2 2 2 + 5
3 3 6
deci
√ √
Ç 2 2+3 å Ç å
1 √ 3 4 5 1 1 √ 10 1 2 2 + 3
I 0 = 2 2 · − · + ln 2 = 3 2 − + ln
2 2 3 6 2 3 2 9 2 3
√ √ 2 √ √ √ √ √
3 2 5 1 ( 2 + 1) 2 3 2 5 1 2 + 1 3 2 5 1 6 + 3
= − + ln = − + ln √ = − + ln .
2 9 4 3 2 9 2 3 2 9 2 3
b) Avem
√ √ √ √ √
2 4x + 1 2 4x + 1 2 4x 2 1
2
2
Z Z Z Z
I 1 = dx = √ dx = √ dx + √ dx
2
2
2
2 x 2 x 4x + 1 2 4x + 1 2 x 4x + 1
3 3 3 3
Å ã 0
1
√ √ 1 √ √
√ 2 Z 2 2 √ 2 Z 2 x
= 2 + … x dx = 2 − dx
4x + 1
2 2 1 4x + 1 2 2 Å ã 2
3 3 4 + 3 3 1
x 2 x + 4
√
! 2 3 » 9
5 1 Å ã 2 4 + + 4 4 4 4 1
1
= 3 − − ln + = + ln 2 √ 4 √ = + ln √ = + ln 2.
3 x x + 4 3 2 + 3 2 3 2 2 3 2
2 2 2
3
c) Pentru orice n ≥ 2, avem
…
√ √ √ 1
2 4x + 1 2 2 2 1 1 1
2
Z Z 4 + Z √ … Å ã 0
I n = dx = x dx = + 4 · − · dx
2 x n 2 x n−1 2 x 2 x x n−3
3 3 3

2
0
Z Å ã 2 Å ã Å ã n−3
3 1 1 1
= + 4 · · dx,
√ x x x
2
1
deci folosind schimbarea de variabil˘a t = obt , inem
x
3
Z √
2
2
I n = t n−3 · t + 4 dt.
√
2
2