Page 28 - MATINF Nr. 11-12

28 T. Zvonaru

4
3
2 2
3
2
2
Deoarece 2x + 5x y + 8x y + 7xy + 2y 4 = (2x + y)(x + y)(x + xy + 2y ) s , i
3
4
3
2 2
3
4
2x + 7x y + 9x y + 5xy + y = (2x + y) (x + y) , relat , ia (4) devine
2
x + xy + 2y 2
2k ≤ . (5)
(x + y) 2
2
t + t + 2
Minimul fract , iei f (t) = poate fi determinat cu ajutorul derivatei. Prezent˘am o
2
t + 2t + 1
2
t + t + 2
a
solut , ie f˘ar˘ elemente de analiz˘a. S˘ g˘asim num˘arul real m astfel ˆıncˆat ≥ m. Aceast˘a
a
2
t + 2t + 1
inegalitate se scrie
2
(m − 1) t + (2m − 1) t + m − 2 ≤ 0. (6)
2
a
Inegalitatea (6) este adev˘arat˘ pentru orice t dac˘ m < 1 s , i (2m − 1) − 4(m − 1)(m − 2) ≤ 0.
a
7 7 7
Deducem c˘a 8m ≤ 7 s , i atunci lu˘am m = . Cum f (3) = , rezult˘a c˘a m = este s , i minimul
8 8 8
lui f(t) pentru t > 0.
7
Din relat , ia (5) rezult˘ k ≤ .
a
16
Pentru a finaliza demonstrat , ia, r˘amˆane de verificat inegalitatea
a b c 3 7 (a − c) 2
+ + ≥ + · . (7)
b + c c + a a + b 2 16 ab + bc + ca
Proced˘am ca mai sus. Fie x, y ≥ 0, cu b = c + x, a = c + x + y. Inegalitatea (7) devine
2
3
2
2
8c 3 5x − 2xy + 5y 2 + 8c 2 8x − 2x y + 11xy + 7y 3 +
3
2 3
4
5
4
3
2 2
3 2
4
+2c 13x − 9x y + 24x y + 39xy + 9y 4 + 2x − 9x y + x y + 21x y + 9xy ≥ 0. (8)
2
2 2
4
2
3
2
2
Inegalitatea (8) este adev˘arat˘a, deoarece x + y ≥ 2xy, x + xy ≥ 2x y, 5x + 5x y ≥
2
2
2
4
4
3 2
3
5
3
2 3
10x y ≥ 9x y s , i 2x − 9x y + x y + 21x y + 9xy = x(x − 3y) (2x + 3xy + y ) ≥ 0.
a
Pentru a sublinia faptul c˘ atˆat inegalitatea de pornire cˆat s , i cea obt , inut˘ constituie ˆınt˘ariri
a
ale Inegalit˘at , ii lui Nesbitt
a b c 3
+ + ≥ , ∀ a, b, c > 0,
b + c c + a a + b 2
reformul˘am rezultatul obt , inut astfel:
a
Dac˘ a, b, c ≥ 0 cu (a + b)(b + c)(c + a) 6= 0, atunci este adev˘arat˘ inegalitatea
a
a b c 3 7 ¶ 2 2 2 ©
+ + ≥ + · max (a − b) , (b − c) , (c − a) .
b + c c + a a + b 2 16 (ab + bc + ca)
a
Egalitatea are loc dac˘ s , i numai dac˘ a = b = c sau (a, b, c) = (4p, 3p, 0) s , i permut˘arile sale,
a
unde p este un num˘ar real strict pozitiv.
Bibliografie
[1] Revista MATINF, anul V (2022), nr. 9-10, http://matinf.upit.ro/MATINF9 10/index.
html