Page 30 - MATINF Nr. 11-12

30 C. B˘alc˘au, R.A.M. Br˘anescu

a
a
Evident, (x 0 , y 0 ) = (1, 1) este solut , ie fundamental˘ (adic˘ solut , ia (x, y) pentru care expresia
√
x + y 2 este minim˘a). Cum
Ä √ ä Ä √ ä
2
2
−1 = x − 2y = x 0 + y 0 2 x 0 − y 0 2 ,
0
0
a
rezult˘ c˘a, pentru orice m ∈ N, avem
Ä √ ä 2m+1 Ä √ ä 2m+1
−1 = (−1) 2m+1 = x 0 + y 0 2 x 0 − y 0 2 .
Dar, conform Binomului lui Newton, avem
 √
√ ä
Ä 2m+1
x 0 + y 0 2 = x m + y m 2

∗
√ , cu x m , y m ∈ N .
Ä √ ä 2m+1
 x 0 − y 0 2 = x m − y m 2
Prin urmare
Ä √ ä Ä √ ä
2
2
−1 = x m + y m 2 x m − y m 2 = x − 2y .
m
m
Astfel (x m , y m ) este solut , ie a ecuat , iei (1), pentru orice m ∈ N (mai mult, conform teoriei
ecuat , iilor Pell, orice solut , ie are aceast˘ form˘a).
a
Deoarece
√ Ä √ ä 2m+1 Ä √ ä 2m+1
x m + y m 2 = x 0 + y 0 2 = 1 + 2
2
Ä √ ä Ä √ ä 2m−1 Ä √ ä Ä √ ä
= 1 + 2 1 + 2 = 3 + 2 2 x m−1 + y m−1 2
√
= (3x m−1 + 4y m−1 ) + (2x m−1 + 3y m−1 ) 2,
a
a
rezult˘ c˘ solut , iile (x m , y m ) ale ecuat , iei (1) verific˘a relat , iile de recurent , ˘
a
ß ß
x m = 3x m−1 + 4y m−1 ∗ x 0 = 1
, pentru orice m ∈ N , unde .
y m = 2x m−1 + 3y m−1 y 0 = 1
a
a
Prin induct , ie dup˘ m ∈ N se obt , ine c˘ x m s , i y m sunt numere naturale impare. Prin urmare
s , irurile (x m ) m∈N , (y m ) m∈N sunt strict cresc˘atoare.
si
ß
ˆ x m = 2n m + 1 , rezult˘a c˘a solut , iile (k m , n m ), m ∈ N , ale problemei propuse
∗
Inlocuind
y m = 2k m + 1
a
sunt date de relat , iile de recurent , ˘
ß ß
k m = 3k m−1 + 2n m−1 + 2 k 0 = 0
∗
, pentru orice m ∈ N , unde .
n m = 4k m−1 + 3n m−1 + 3 n 0 = 0
∗
Evident, k m < n m pentru orice m ∈ N , iar s , irurile (k m ) ∗ s , i (n m ) ∗ sunt strict cresc˘atoare,
m∈N m∈N
as , adar problema are o infinitate de solut , ii.
De exemplu, primele zece solut , ii sunt:
(k 1 , n 1 ) = (2, 3), (k 2 , n 2 ) = (14, 20), (k 3 , n 3 ) = (84, 119), (k 4 , n 4 ) = (492, 696),
(k 5 , n 5 ) = (2870, 4059), (k 6 , n 6 ) = (16730, 23660), (k 7 , n 7 ) = (97512, 137903),
(k 8 , n 8 ) = (568344, 803760), (k 9 , n 9 ) = (3312554, 4684659), (k 10 , n 10 ) = (19306982, 27304196).

Bibliografie

a
[1] Gazeta Matematic˘ Seria B, nr. 4/2023.