Page 33 - MATINF Nr. 11-12

Asupra unor probleme date la concursurile de titularizare s , i definitivare ˆın ˆınv˘at , ˘amˆant din iulie 2023 33

Acum, utilizˆand integrarea prin p˘art , i avem

3 3 3
Z n−1 n−3 Z n−1 Z n−3
2 t + 4t 2 t 2 t
I n = √ dt = √ dt + 4 √ dt
√ √ √
2
2
2
2 t + 4 2 t + 4 2 t + 4
2 2 2
3 3
Z Ä√ Z Ä√
2 ä 0 2 ä 0
2
2
= t n−2 · t + 4 dt + 4 t n−4 · t + 4 dt
√ √
2 2
2 2
√ 3 Z 3 2 √
2
2
2
= t n−2 · t + 4 √ − (n − 2) t n−3 · t + 4 dt
2 √ 2
2 2
√ 3 Z 3 2 √
2
2
2
+ 4t n−4 · t + 4 √ − 4(n − 4) t n−5 · t + 4 dt
2 √ 2
2 2
√
3 5 2 3 2
Å ã n−2 Ç√ å n−2
= · − · − (n − 2) · I n
2 2 2 2
√
" Ç√ å n−4 #
3 5 2 3 2
Å ã n−4
+ 4 · − · − 4(n − 4) · I n−2 ,
2 2 2 2
deci
√
Å ã n−4 Å ã Ç√ å n−4 Å ã
5 3 9 3 2 2 1
(n − 1)I n = · · + 4 − · · + 4 − 4(n − 4)I n−2 ,
2 2 4 2 2 2
prin urmare
" Ç√ å n−3 #
1 125 Å ã n−4 27 2
3
I n = · − · − 4(n − 4)I n−2 .
n − 1 8 2 2 2
a
a
a
a
Observat ,ia 2. Folosind relat , ia de recurent , ˘ obt , inut˘ la punctul c), pentru n = 2 rezult˘ c˘
√
2√
4x + 1 125 4 27
Z 2 √
I 2 = dx = · − · 2 + 8I 0
x 2 8 9 2
2
3
√ √ √ √ √ √
a) 125 27 2 √ 40 6 + 3 5 3 2 6 + 3
= − + 12 2 − + 4 ln = − + 4 ln ,
18 2 9 3 2 2 3
iar pentru n = 3 rezult˘ c˘
a
a
√ √
2
Z 2 4x + 1 1 Å 125 2 27 ã
I 3 = dx = · − + 4I 1
2 x 3 2 8 3 2
3
Å ã
b) 1 37 16 9
= − + + 2 ln 2 = + ln 2,
2 12 3 8
a
adic˘ se obt , ine problema de la concurs.