Page 29 - MATINF Nr. 11-12

ˆ a
In leg˘atur˘ cu Problema 28569 din G.M.-B nr. 4/2023

1
Costel B˘alc˘au s , i Romina-Ana-Maria Br˘anescu 2

Problema 28569 din Gazeta Matematic˘a Seria B nr. 4/2023, propus˘a la Clasa a IX-a de
Iulia Sanda, Craiova, are urm˘atorul enunt , :

Determinat ,i perechile de numere naturale nenule (k, n) pentru care k < n s , i

3
3
3
3
3
3
1 + 2 + . . . + k = (k + 1) + (k + 2) + . . . + n .
Solut ,ie. Egalitatea din enunt , este echivalent˘a cu
3
3
3
3
3
1 + 2 + . . . + n = 2 1 + 2 + . . . + k 3 .
2
n (n + 1) 2
3
3
3
Dar 1 + 2 + . . . + n = , deci egalitatea devine, succesiv:
4
2
2
n (n + 1) 2 k (k + 1) 2 n(n + 1) √ k(k + 1) √ n(n + 1)
= 2 · , = 2 · , 2 = , fals.
4 4 2 2 k(k + 1)
a
As , adar nu exist˘a perechi (k, n) care s˘ verifice egalitatea dat˘a.
Consider˘am acum urm˘atoarea problem˘a asem˘an˘atoare:
a
a
Ar˘atat ,i c˘ exist˘ o infinitate de perechi (k, n) de numere naturale nenule astfel ˆıncˆat k < n
s , i
3
3
3
3
3
3 1 + 2 + . . . + k 3 = (k + 1) + (k + 2) + . . . + n .
Solut ,ie. Egalitatea din enunt , devine, succesiv:
3
3
3
3
3
1 + 2 + . . . + n = 4 1 + 2 + . . . + k 3 ,
2
2
n (n + 1) 2 k (k + 1) 2
= 4 · , n(n + 1) = 2k(k + 1).
4 4
Astfel, putem rescrie, succesiv:
2
2
2
2
n + n = 2k + 2k, 4n + 4n = 8k + 8k,
2
2
2
2
(2n + 1) − 1 = 2(2k + 1) − 2, (2n + 1) − 2(2k + 1) = −1.
ß
2n + 1 = x
Notˆand , obt , inem ecuat ,ia Pell negativ˘
a
2k + 1 = y
∗
2
2
x − 2y = −1, x, y ∈ N . (1)
1
Conf. univ. dr., Universitatea Nat , ional˘a de S , tiint , ˘a s , i Tehnologie POLITEHNICA Bucures , ti, Centrul
Universitar Pites , ti, costel.balcau@upb.ro
2
Profesor, S , coala Gimnazial˘ ,,Nicolae Coculescu”, Scornices , ti, rominabranescu23@gmail.com
a
29