Page 27 - MATINF Nr. 11-12

O ˆınt˘arire a Inegalit˘atii lui Nesbitt
,

Titu Zvonaru 1

ˆ
In revista MATINF nr. 9-10/2022 ([1]), domnul Cristinel Mortici a propus urm˘atoarea
a
problem˘ (M 205):
a
Fie a ≥ b ≥ c > 0 astfel ˆıncˆat ab + bc + ca = 1. Demonstrat , i c˘
a b c 3 1 2
+ + ≥ + (a − c) .
b + c c + a a + b 2 3

1
Observ˘am c˘a dac˘a ˆınlocuim fract , ia cu un num˘ar mai mare, atunci inegalitatea este mai
3
tare. Ne propunem s˘a determin˘am cel mai mare num˘ar real k astfel ˆıncˆat s˘a fie adev˘arat˘a
inegalitatea
a b c 3 2
+ + ≥ + k(a − c) , (1)
b + c c + a a + b 2
pentru orice a ≥ b ≥ c > 0 astfel ˆıncˆat ab + bc + ca = 1.

Pentru a avea o inegalitate omogen˘a, vom scrie relat , ia (1) sub forma

a b c 3 k(a − c) 2
+ + ≥ + . (2)
b + c c + a a + b 2 ab + bc + ca

a
Deoarece a ≥ b ≥ c > 0, exist˘ numerele reale x, y ≥ 0 astfel ˆıncˆat
b = c + x, a = c + x + y.

a
Dup˘ efectuarea calculelor, inegalitatea (2) devine
N
2k ≤ , (3)
M
unde

2
2
2
3
3
2
N = 12c (x + xy + y ) + c 2 22x + 33x y + 39xy + 14y 3
4
3
3 2
3
5
4
4
2 3
2 2
+ c 12x + 24x y + 34x y + 22xy + 4y 4 + 2x + 5x y + 8x y + 7x y + 2xy ,
2
2
2
3
M = 8c 3 x + 2xy + y 2 + 8c 2 2x + 5x y + 4xy + y 3
2 2
3
4
5
4
3
4
2 3
3 2
+ 2c 5x + 15x y + 16x y + 7xy + y 4 + 2x + 7x y + 9x y + 5x y + xy .
Considerˆand c → 0, inegalitatea (3) devine
3
3
4
2 2
2x + 5x y + 8x y + 7xy + 2y 4
2k ≤ . (4)
4
2 2
3
3
2x + 7x y + 9x y + 5xy + y 4
1
Com˘anes , ti, tzvonaru@gmail.com
27