Page 34 - MATINF Nr. 11-12

34 D. Jinga

a
La concursul de definitivare in ˆınv˘t , ˘amˆantul preuniversitar din 19 iulie 2023 a fost propus˘
a
urm˘atoarea problem˘a:

Problema 3. Fie funct ,ia f : (−1, ∞) → R, f(x) = ln(1 + x).

a) Ar˘atat , i c˘ f(x) ≤ x, pentru orice x ∈ (−1, ∞).
a
b) Se consider˘a num˘arul real a ∈ (0, 1). Pentru fiecare num˘ar natural n, se consider˘a
1 f (x )
2n
Z
num˘arul I n = dx. Demonstrat , i c˘ lim I n = 0.
a
a x n n→∞
x
0
a
Solut ,ie. a) Fie funct , ia g : (−1, ∞) → R, g(x) = x − f(x), care este derivabil˘ s , i g (x) = ,
x + 1
pentru orice x > −1.
0
0
0
Avem g (x) = 0 dac˘a s , i numai dac˘a x = 0, g (x) < 0 pentru orice x ∈ (−1, 0) s , i g (x) > 0
pentru orice x ∈ (0, ∞), deci g este strict descresc˘atoare pe (−1, 0] s , i strict cresc˘atoare pe [0, ∞),
deci g(x) ≥ g(0) = 0 pentru orice x ∈ (−1, ∞).
2n
2n
f (x ) ln (1 + x )
b) Evident = ≥ 0 pentru orice x ∈ [a, 1], de unde rezult˘a c˘a I n ≥ 0,
x n x n
2n
pentru orice n ∈ N. Pe de alt˘ parte, din punctul a) avem f (x ) ≤ x 2n pentru orice x ∈ [a, 1],
a
deci, prin integrare,
1 x n+1 1 1
Z
n
I n ≤ x dx = = 1 − a n+1 , pentru orice n ∈ N.

a n + 1 a n + 1
Astfel
1
0 ≤ I n ≤ 1 − a n+1 , pentru orice n ∈ N,
n + 1
s , i, cum lim a n+1 = 0, folosind Criteriul cles , telui se obt , ine lim I n = 0.
n→∞ n→∞
a
Observat ,ia 3. S , irul de integrale (I n ) din problema anterioar˘ are limita 0, deci este convergent.
n≥0
k
Se poate extinde problema la studiului convergent , ei s , irurilor n I n , unde k ∈ R, s , i se poate
n≥1
astfel formula enunt , ul urm˘ator.
k
a
Problema 4. Pentru integrala I n de la Problema 3, se consider˘ s , irul n I n , unde k ∈ R.
n≥1
Determinat ,i valorile lui k pentru care acest s , ir este convergent.

2n
Z 1 ln (1 + x )
Solut ,ie. Avem I n = dx, n ∈ N.
x n
a
Demonstr˘am c˘
a
x 2
x − ≤ ln(1 + x) ≤ x, ∀ x ≥ 0. (1)
2
A doua inegalitate a fost demonstrat˘a la punctul a) de la problema anterioar˘a. Pentru prima
inegalitate, notˆand
x 2
h(x) = x − − ln(1 + x), x ≥ 0,
2
avem
1 x 2
0
h (x) = 1 − x − = − ≤ 0,
1 + x 1 + x