Page 36 - MATINF Nr. 11-12

36 D. Jinga

1 Z 1 2n−1
1 1 2nx
= − · ln 1 + x 2n + · dx
x n−1 x n−1 1 + x 2n
a a
2n
ln (1 + a ) Z 1 x n
= − ln 2 + + 2n dx,
a n−1 1 + x 2n
a
deci
2n
ln (1 + a )
(n − 1)I n = − ln 2 + + J n − K n , (3)
a n−1
Z 1 x n Z a x n
unde J n = 2n dx s , i K n = 2n dx.
1 + x 2n 1 + x 2n
0 0
Dar
2n
2n
ln (1 + a ) ln (1 + a )
lim = lim · a n+1 = 1 · 0 = 0,
n→∞ a n−1 n→∞ a 2n
a 2na n+1
Z
∗
n
0 ≤ K n ≤ 2n x dx = , ∀ n ∈ N , deci
0 n + 1
lim K n = 0,
n→∞
n
iar, utilizˆand schimbarea de variabil˘ x = t, rescriem
a
√
Z 1 n t
J n = 2 dt,
1 + t 2
0
√ √
a
s , i din n−1 t ≤ n t ≤ 1 pentru orice t ∈ [0.1] deducem c˘ s , irul (J n ) este cresc˘ator s , i m˘arginit
n≥1
1 1 1 π
Z
superior de 2 dt = 2arctg t = , deci este convergent. Astfel din (3) rezult˘a c˘a

0 1 + t 2 0 2 n
s , irul ((n − 1)I n ) este convergent, deci, cum nI n = · (n − 1)I n (pentru n ≥ 2), s , i s , irul
n≥1
n − 1
(nI n ) este convergent. Mai mult, avem
n≥1
lim nI n = lim (n − 1)I n = − ln 2 + lim J n . (4)
n→∞ n→∞ n→∞
ˆ k
a
In concluzie, s , irul n I n este convergent dac˘ s , i numai dac˘a k ≤ 1.
n≥1
√
n t
∗
Observat ,ia 4. Evident, avem 0 ≤ ≤ 1, pentru orice t ∈ [0, 1] s , i n ∈ N . Cum
1 + t 2
√ 
n t 0, pentru t = 0
lim = 1 ,
n→∞ 1 + t 2  , pentru t ∈ (0.1]
1 + t 2
a
conform Teoremei convergent ,ei dominate rezult˘ c˘
a
√
1 n t 1 1 1 π
Z Z
lim dt = dt = arctg t = .

n→∞ 1 + t 2 1 + t 2 0 4
0 0
π
Deci, pentru integrala I n din problema anterioar˘a, din (4) rezult˘a c˘a lim nI n = − ln 2 s , i
n→∞ 2
astfel

 0, pentru k < 1

 π
k
lim n I n = − ln 2, pentru k = 1 .
n→∞  2

+∞, pentru k > 1
