Page 31 - MATINF Nr. 11-12

Asupra unor probleme date la concursurile de

titularizare si definitivare ˆın ˆınv˘at˘amˆant din iulie 2023
,
,

Daniel Jinga 1

La concursul de titularizare din 12 iulie 2023 a fost propus˘ urm˘atoarea problem˘a:
a
√
2
Problema 1. Fie funct ,ia f : R → R, f(x) = x − 4x + 1.
√
2 x − f(x) 9
Z
a
Demonstrat , i c˘ dx = + ln 2.
2 x 3 8
3
Solut ,ie. Integrala se scrie
√ √ √ √
2 4x + 1 2 1 1 2 1 1
2
Z Z … Z Å ã 0 Å ã 2
I = dx = · 4 + dx = − · + 4 dx
2 x 3 2 x 2 x 2 2 x x
3 3 3

Z 2 Å ã 0 Å ã 2 1 Z 3 2 √
3 1 1 t=
2
= · + 4 dx = x t + 4 dt.
√ x x √
2 2
2
Integrˆand prin p˘art , i avem
√
√ 3 Z 3 2 t 3 5 2 3 Z 3 2 t + 4 − 4
2
2
2
I = t t + 4 √ − t · √ dt = · − · √ − √ dt
2 √ 2 t + 4 2 2 2 2 √ 2 t + 4
2
2
2
2 2
9 √ 3
2
= − I + 4 ln(t + t + 4) √ ,
2
4 2
2
9 3 + 5 9 4 9 √ 9 9
deci 2I = + 4 ln √ 2 2 √ = + 4 ln √ = + 4 ln 2 = + 2 ln 2, deci I = + ln 2.
4 2 + 3 2 4 2 2 4 4 8
2 2
√
2 x − f(x)
Z
Observat ,ia 1. Se poate pune problema calculului tuturor integralelor I n = dx,
2 x n
3
n ∈ N, s , i se poate astfel formula enunt , ul urm˘ator.
√
2 x − f(x)
Z
Problema 2. Pentru funct ,ia f de la Problema 1, fie I n = dx, n ∈ N.
2 x n
3
√ √ √
3 2 5 1 6 + 3
a
a) Demonstrat , i c˘ I 0 = − + ln .
2 9 2 3
4 1
a
b) Demonstrat , i c˘ I 1 = + ln 2.
3 2
1
Profesor, Colegiul Nat , ional ,,Ion C. Br˘atianu”, Pites , ti, jinga.daniel@yahoo.com
31