Page 26 - MATINF Nr. 1

26 M. Chirciu

Q (k+4)(b+c)+(k−4)a 3
unde (1) ⇔ ≥ (3k + 4) , care rezult˘a din:
a
î ó
(k + 4) · + k − 4 = (x + α) = (x + α)(y + α)(z + α) = xyz + α xy + α x + α ,
Q b+c Q P 2 P 3
a
3
unde x = (k + 4) · b+c s , i α = k − 4. Avem: xyz = (k + 4) 3 Q b+c ≥ 8(k + 4) ;
a a
Gerretsen
2
2
P 2 P (a+b)(a+c) P (a+b)(a+c) p −r −Rr
xy = (k + 4) s , i = ≥ 12 ⇒
bc bc Rr
X b + c
2
X X
⇒ xy ≥ 12(k + 4) ; x = (k + 4) ≥ (k + 4) · 6.
a
2
2
3
Obt , inem: Q (x + α) ≥ 8(k + 4) + 12(k + 4) (k − 4) + 6(k + 4)(k − 4) + (k − 4) 3
3
3
= [2(k + 4) + (k − 4)] = (3k + 4) , pentru k ≥ 4.
Din aceeas , i clas˘a de probleme v˘a propun s˘a rezolvat , i:
,,S˘a se arate c˘a ˆın orice triunghi ABC este adev˘arat˘a inegalitatea:
24S
X 3bc + 4m b m c
≥ .”
a R
Solut ,ie. Se foloses , te inegalitatea mediilor pentru 3bc s , i 4m b m c , inegalit˘at , ile din solut , ia precedent˘a
√
s , i inegalitatea P 1 ≥ 3 . Egalitatea are loc pentru triunghiul echilateral, caz ˆın care are loc s , i
a R
egalitatea 3bc = 4m b m c .

Bibliografie

[1] T. Andreescu, O. Mushkarov, Mathematical Reflections, nr. 6/2015.

[2] M. Chirciu, Inegalit˘at ,i geometrice, de la init ,iere la performant ,˘a, Editura Paralela 45, Pites , ti,
2015.