Page 23 - MATINF Nr. 1

Numere prime de forma ... 23

k
2
2
k
k
2
2k
2
t
?
k
Dac˘a t = 2k + 1, atunci n = n 2k · n = n (a + b ) = (n · a) + (n · b) cu n a, n b ∈ N .
Dac˘a t = 2k demonstr˘am afirmat , ia pentru k = 1
2 2
2
2
2
2 2
2 2
4
4
2
n = (a + b ) = a + b + 2a b = (a − b ) + (2ab) ,
2
2
2
2
2
adic˘a n = A + B cu A = a − b , B = 2ab.
2
2
2
2
2
t
Pentru k ≥ 2, n = n 2k−2 · n = n 2(k−1) (A + B ) = (n k−1 A) + (n k−1 B) cu a k−1 A, a k−1 B ∈
?
N .
Mai general, dac˘a n s , i m se pot scrie ca sum˘a de dou˘a p˘atrate perfecte nenule, atunci
ˆ
2
2
s , i produsul lor este o sum˘a de dou˘a p˘atrate perfecte nenule. Intr-adev˘ar, dac˘a n = a + b ,
?
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
m = c + d , a, b, c, d ∈ N atunci mn = (a + b )(c + d ) = a c + a d + b c + b d =
2
2
(ac + bd) + (ad − bc) .
?
2
2
?
Putem concluziona astfel c˘a mult , imea M = {n ∈ N | n = a + b , a, b ∈ N } este parte
stabil˘a ˆın raport cu ˆınmult , irea.
a
Ç å
Dac˘a p este un num˘ar prim, p ≥ 3, iar a ∈ Z, (a, p) = 1 atunci simbolul lui Legendre
p
se defines , te astfel:
a 1 dac˘a congruent , a x ≡ a(mod p) are solut , ii
Ç å ® 2
= .
2
p −1 dac˘a congruent , a x ≡ a(mod p) nu are solut , ii
Ment , ion˘am cˆateva propriet˘at , i ale simbolului lui Legendre:
a a
Ç å Ç å
1. se poate extinde pe Z prin = 0, dac˘a p|a.
p p
a b
Ç å Ç å
2. Dac˘a a ≡ b(mod p), atunci = .
p p
a
Ç å
ˆ
2 (mod p) (Criteriul lui Euler).
3. In condit , iile de mai sus, ≡ a p−1
p
Ç å Ç å Ç å
ab a b
4. = .
p p p
Un rezultat de seam˘a ˆın teoria numerelor este Legea de reciprocitate p˘atratic˘a, intuit˘a de
Euler, formulat˘a de Legendre s , i demonstrat˘a de Gauss.
Teorema 1. Fie p ≥ 3 un num˘ar prim. Atunci:
−1 p−1
Ç å
1. = (−1) 2 .
p
Ç å
2 p −1
2
2. = (−1) 8 .
p
3. Dac˘a q este num˘ar prim, q ≥ 3 s , i q 6= p, atunci
Ç å Ç å
p q p−1 q−1
= (−1) 2 2 .
q p