Page 25 - MATINF Nr. 1

ˆ
In leg˘atur˘a cu o inegalitate din ,,Mathematical
Reflections” nr. 6/2015

Marin Chirciu 1

ˆ
In Revista ,,Mathematical Reflections” nr. 6/2015 sub semn˘atura Titu Andreescu, USA s , i
Oleg Mushkarov, Bulgaria este propus˘a problema O357:

,,S˘a se arate c˘a ˆın orice triunghi ABC este adev˘arat˘a inegalitatea:

X bc + 4m b m c 16S
≥ .”
a R

Articolul ˆıs , i propune o generalizare s , i anume:

,,S˘a se arate c˘a ˆın orice triunghi ABC este adev˘arat˘a inegalitatea:

S
X bc + k · m b m c
≥ (3k + 4) · ,
a R
unde .k ≥ 4.”

»
Solut ,ie. Vom folosi inegalit˘at , ile: a = (p − b) + (p − c) ≥ 2 (p − b)(p − c) s , i
2
2
2
2
m = 2(b +c )−a 2 ≥ (b+c) −a 2 = p(p − a) ⇒ m a ≥ » p(p − a). Obt , inem:
a
4
4
é
» » »
Ñ »
2 (p − a)(p − c) · 2 (p − a)(p − b) k · p(p − b) · p(p − c)
X bc + k · m b m c X
≥ +
a a a
» Ç å
(p − b)(p − c) [4(p − a) + kp] (k + 4)(b + c) + (k − 4)a
X X »
= = (p − b)(p − c) ·
a 2a
s
Y (k + 4)(b + c) + (k − 4)a
A m−G m 3 3 Y
≥ · (p − a)
2 a
(1) 3 q Y 3 q Y
3
≥ 3 (3k + 4) · (p − a) = (3k + 4) 3 (p − a)
2 2
G m−H m 3 3 9(3k + 4) 1
≥ (3k + 4) · = ·
2 1 + 1 + 1 2 r a + r b + r c
p−a p−b p−c S S S
9(3k + 4) S 9(3k + 4) S
= · = ·
2 r a + r b + r c 2 4R + r
Euler 9(3k + 4) S S
≥ · = (3k + 4) · ,
2 9R R
2
1
Profesor, Colegiul Nat , ional ,,Zinca Golescu”, Pites , ti, marin.chirciu@yahoo.com
25