Page 21 - MATINF Nr. 1

˘
ARTICOLE SI NOTE DE MATEMATICA
,

2
2
Numere prime de forma p = x + My cu x, y ∈ Z si
,
M ∈ {1, 2, 3}

1
Victor Alexandru s , i Stelian Corneliu Andronescu 2

ˆ
In acest articol vom prezenta un rezultat clasic asupra reprezent˘arii numerelor prime,
ˆımpreun˘a cu cˆateva aplicat , ii. Primul fapt semnificativ ˆın aceast˘a direct , ie a fost descoperit de P.
Fermat: numerele prime de forma 4k + 1 se pot reprezenta ca sum˘a de dou˘a p˘atrate perfecte.

2
2
Problema reprezent˘arii numerelor prime sub forma x + My , pentru M ∈ {1, 2, 3} a fost
rezolvat˘a de L. Euler.
2
Propozit , ia 1. Fie p ≥ 3 un num˘ar prim cu (p, M) = 1 s , i astfel ˆıncˆat congruent , a x ≡
2
−M(mod p) are solut , ie, iar M ∈ {1, 2, 3}. Atunci p poate fi reprezentat sub forma x + My 2
cu x, y ∈ Z.

Prezent˘am ˆın continuare o demonstrat , ie a lui L. Euler, care prezint˘a avantajul de a fi
constructiv˘a.

2
2
Demonstrat¸ie. Deoarece −M este rest p˘atratic modulo p, exist˘a a, b ∈ N astfel c˘a p|a + Mb ,
p p p 2 p 2
2
2
2
iar (p, ab) = 1. Putem alege a, b cu |a| < , |b| < , de unde a + Mb < + M ≤ p .
2 2 4 4
2
2
Prin urmare avem a + Mb = p · q, cu 1 ≤ q < p. Dac˘a q 6= 1, putem reprezenta a, b sub
q q
forma a = q · α + r, b = q · β + s, cu α, β, r, s ∈ Z, |r| ≤ , |s| ≤ . Deoarece a ≡ r(mod q) s , i
2 2
q 2 q 2
2
2
2
2
2
2
2
b ≡ s(mod q), rezult˘a r + Ms ≡ a + Mb ≡ 0(mod q) s , i r + Ms ≤ + M ≤ q . S˘a
4 4
ˆ
2
2
2
observ˘am c˘a de fapt avem r + Ms < q chiar dac˘a M = 3. Intr-adev˘ar, pentru a avea egalitate
q
ˆ
2
2
2
ar trebui ca |r| = |s| = . De aici se obt , ine q|2a s , i q|2b s , i q |4(a + 3b ) = 4pq. Ins˘a p este prim,
2
ˆ
2
2
iar 1 < q < p. Rezult˘a q = 2 s , i a + 3b = 2p. Ins˘a p ≡ 1(mod 3), cum vom proba ulterior, de
ˆ
2
2
2
unde 2 ≡ a (mod 3), ceea ce este imposibil. Prin urmare r + Ms = qq 1 , cu 1 ≤ q 1 < q. In
continuare folosim identitatea
2
2
2
2
2
2
(pq) · (qq 1 ) = (a + Mb )(r + Ms ) = (ar ± Mbs) + M(as ∓ br) .
Deoarece a ≡ r(mod q) s , i b ≡ s(mod q), rezult˘a c˘a as − br ≡ 0(mod q), iar de aici se obt , ine s , i
2
2
2
ar + Mbs ≡ 0(mod q). Rezult˘a c˘a exist˘a a 1 , b 1 ∈ Z astfel ˆıncˆat q pq 1 = (qa 1 ) + M(qb 1 ) sau
2
2
pq 1 = a + Mb , cu 1 ≤ q 1 < q. Dac˘a q 1 > 1, continu˘am ˆın acelas , i mod. Dup˘a un num˘ar finit
1 1
de pas , i se ajunge la reprezentarea lui p sub forma dorit˘a.
1
Prof. univ. dr., Universitatea din Bucures , ti, vralexandru@yahoo.com
2
Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, corneliuandronescu@yahoo.com
21