Page 148 - MATINF Nr. 1

˘
148 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

Clasa a XI-a

M 31. Fie A, B ∈ M n (C) astfel ˆıncˆat A = 2AB − BA. Demonstrat , i c˘a

det(AB − BA) = 0.

ˆ
(In leg˘atur˘a cu problema XI.459, R.M.T. nr. 2/2017, punctul a).)

Daniel Jinga, Pites , ti

M 32. Ar˘atat , i c˘a pentru orice matrice A, B ∈ M 2 (R) au loc urm˘atoarele inegalit˘at , i:

2
2
a) det(A + B − BA) ≥ det(AB − BA);
2
2
b) det ((A − B)(A + B) − 2(A + B )) ≥ 4 det(AB − BA).

Florin St˘anescu, G˘aes , ti

M 33. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia

1 + 3 · 2 3x−2 · 15 x−1 = 8 3x−2 − 15 3x−3 .

Marin Chirciu, Pites , ti

M 34. a) Fie f : [a, b] → R o funct , ie derivabil˘a, a, b ∈ R, a < b. Ar˘atat , i c˘a exist˘a c 1 , c 2 ∈ (a, b)
f(c 1 ) − f(a) f(b) − f(c 2 )
0
0
astfel ˆıncˆat f (c 1 ) = s , i f (c 2 ) = .
b − c 1 c 2 − a
b) Demonstrat , i c˘a pentru orice a, b ∈ R cu a < b exist˘a o infinitate de funct , ii f derivabile
pe [a, b] pentru care valorile c 1 s , i c 2 definite la punctul a) sunt unice s , i egale.

Dorin M˘arghidanu, Corabia

M 35. Fie a, b, c, d ∈ [−1, ∞) astfel ˆıncˆat a + b + c + d = 0. Ar˘atat , i c˘a

2
2
2
2
a + b + c + d + 5(abc + abd + acd + bcd) ≥ 4abcd.
Cˆand are loc egalitatea?

Leonard Giugiuc s , i Diana Tr˘ailescu, Drobeta Turnu Severin