Page 149 - MATINF Nr. 1

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 149

Clasa a XII-a

M 36. Pentru orice grup G s , i orice num˘ar natural nenul n not˘am

n
S n (G) = {a ∈ G | ax a = x, ∀ x ∈ G}.

∗
a) Pentru n ≥ 2, demonstrat , i c˘a dac˘a S n (G) 6= Ø, atunci exist˘a m ∈ N astfel ˆıncˆat
m
x = e, ∀ x ∈ G (e reprezint˘a elementul neutru al lui G). R˘amˆane adev˘arat˘a afirmat , ia pentru
n = 1?

b) Demonstrat , i echivalent , a: exist˘a un grup G astfel ˆıncˆat S n (G) \ {e} 6= Ø dac˘a s , i numai
dac˘a n este impar.

Marin Chirciu, Pites , ti

M 37. Fie s un num˘ar real apart , inˆand intervalului (12, 18) s , i ABC un triunghi astfel ˆıncˆat
√
2
2
2
a + b + c = 6, a + b + c = s s , i R + r = 3 (a = BC, b = AC, c = AB, iar R s , i r sunt
raza cercului circumscris, respectiv raza cercului ˆınscris triunghiului ABC). Exprimat , i aria
triunghiului ABC ˆın funct , ie de s.

Leonard Giugiuc, Cristinel Mortici, Romˆania s , i Kadir Altintas, Turcia
b 1
Z
M 38. Fie a, b ∈ R, a < b. Calculat , i integrala I = dx.
4
a (x − a) + (x − b) 4
Daniel Jinga, Pites , ti

î ó
M 39. Determinat , i funct , iile continue f, g : 0, π → R care verific˘a simultan relat , iile
2
ï π ò
3
3
2
2
f (x) − 3f(x)g (x) = cos x, g (x) − 3f (x)g(x) = − sin x, ∀x ∈ 0,
2
s , i pentru care aria suprafet , ei plane cuprinse ˆıntre graficele lor este:
a) maxim˘a; b) minim˘a.
Dorin M˘arghidanu, Corabia

0
0
M 40. Fie f : [0, 1] → R o funct , ie derivabil˘a astfel ˆıncˆat f(0) = 0, f (0) = 1, 0 < f (x) < 1
∗
00
pentru orice x ∈ (0, 1] s , i exist˘a f (0) ∈ R . Fie s , irul (x n ) n≥0 astfel ˆıncˆat x 0 ∈ (0, 1] s , i
x n + f(x n )
x n+1 = , pentru orice n ≥ 0. Demonstrat , i c˘a 0 < x n+1 < x n ≤ 1 pentru orice n ∈ N
2
s , i ar˘atat , i c˘a
Ç å Ç å 2
Z
x n 4
lim n 3 f(x) dx = .
00
n→∞ f (0)
x n+1
Florin St˘anescu, G˘aes , ti