Page 147 - MATINF Nr. 1

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 147

Clasa a X-a

M 26. a) Determinat , i funct , ia strict cresc˘atoare f : R → R care satisface condit , ia

2f(x) + f(f(x)) = 3x, ∀ x ∈ R.

b) Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia

Ä log 6 ä log 5
3 x 5 − 1 = 2x + (x + 1) 6 .

Marin Chirciu, Pites , ti

M 27. Rezolvat , i ˆın R × R sistemul

√
 √
x − 3 y + 2 = y −
 x 3 y
 x + 2
.
2 − (9 − y) · 2 + 8 + 6x − 2y = 0
 2x x 2

Sorin Ulmeanu, Pites , ti
s

…
q √
»
∗
M 28. Fie r n = n (n − 1) (n − 2) . . . 3 2 1, unde n ∈ N . Ar˘atat , i c˘a:
1
Ç n å 1− n
(n − 1)2 + 1 2
a) r n ≤ .
n
2 − 1
n √
b) ∈ [1, n ].
r n
Dorin M˘arghidanu, Corabia
ˆ
M 29. Fie ABC un triunghi cu AB 6= AC s , i fie D mijlocul laturii BC. In exteriorul triun-
ghiului ABC se construiesc triunghiurile BAM s , i CAN astfel ˆıncˆat AM = AB, AN = AC s , i
◦
m(^BAM) = m(^CAN) = α. Demonstrat , i c˘a AD ⊥ MN dac˘a s , i numai dac˘a α = 90 .

Nicolae St˘aniloiu, Bocs , a

M 30. Fie ABC un triunghi nedreptunghic, O centrul cercului circumscris acestuia, iar D, E
s , i F mijloacele laturilor [BC], [AC] s , i respectiv [AB]. Fie DO ∩ AC = {X}, EO ∩ AB = {Y }

s , i FO ∩ BC = {Z}. Ar˘atat , i c˘a

2 2 2 2 2
AX BY CZ (a − b )(b − c )(c − a )
2
· ·
XC Y A ZB = a b c
2 2 2
(notat , iile fiind cele obis , nuite).
Van Khea, Cambodgia s , i Leonard Giugiuc, Romˆania